2015届高考数学练透考纲真题：专题4 第20练.docVIP

第2练　解三角形问题 [内容精要]　正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一．命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点． 题型一　活用正、余弦定理求解三角形问题 例1　(1)(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B等于(　　) A. B. C. D. (2)在△ABC中，acos A＝bcos B，则△ABC的形状为________． 破题切入点　(1)先由正弦定理对已知三角关系式进行转化，然后利用三角恒等变换公式进行化简，可求得sin B的值，再结合ab的条件即可判断得出结果． (2)可以先利用余弦定理将条件化为边的形式，再进行判断；或者先利用正弦定理将条件化为角的形式，再转化判断即可． 答案　(1)A　(2)等腰三角形或直角三角形 解析　(1)由条件得sin Bcos C＋sin Bcos A＝， 依正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝， ∴sin(A＋C)＝，从而sin B＝， 又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝. (2)方法一　因为acos A＝bcos B， 所以由余弦定理，得a×＝b×， 即a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以(a2＋b2－c2)(a2－b2)＝0. 所以a2＋b2＝c2或a＝b. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 方法二　因为acos A＝bcos B， 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 所以sin 2A＝sin 2B. 又A，B为△ABC的内角， 所以2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 题型二　正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧 例2　(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A＝，cos C＝. (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 破题切入点　(1)在△ABC中，已知两角及一边长，利用同角三角函数的基本关系式及三角形内角和求得第三个角，再由正弦定理即可求得AB的长； (2)设出在乙出发t min后甲、乙距离最短时所行走的距离，再利用余弦定理即可求得结果； (3)在△ABC中，利用正弦定理求得BC的长，再分别计算出甲、乙到达C点的时间，然后由甲、乙在C处相互等待不超过3 min为条件列出不等式计算即可求得． 解　(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C ＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得 AB＝×sin C＝×＝1 040(m)． 所以索道AB的长为1 040 m. (2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m， 所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)× ＝200(37t2－70t＋50)， 由于0≤t≤，即0≤t≤8， 故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理＝， 得BC＝×sin A＝×＝500(m)． 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤， 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内． 题型三　解三角形中相关交汇性问题 例3　已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(sin B,1－cos B)与向量n＝(2,0)的夹角θ的余弦值为. (1)求角B的大小； (2)若b＝，求a＋c的范围． 破题切入点　(1)根据向量的数量积求两向量的夹角，然后利用同角三角函数关系式及二倍角公式进行恒等变形即