2015届高考数学练透考纲真题：专题4 第19练.docVIP

第练　三角函数的图象与性质 [内容精要]　三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换等，需要熟练快速准确地加以解决． 题型一　三角函数的图象 例1　(2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，－φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　) A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 破题切入点　考查“五点作图法”的逆用，由图象求解析式，先看周期，再看什么时候取得最值以及函数零点等． 答案　A 解析　T＝－，T＝π，∴ω＝2， ∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， ∴φ＝2kπ－，k∈Z. 又φ∈，∴φ＝－，选A. 题型二　三角函数的简单性质 例2　(2013·山东)设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωx·cos ωx(ω0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. (1)求ω的值； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 破题切入点　(1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将f(x)的解析式化简为“一角一函数名”的形式，然后根据“y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为”确定该函数的周期，代入周期公式即可求出ω的值； (2)先根据(1)确定函数解析式，然后利用给定区间确定f(x)的区间，根据该函数在区间上的图象即可确定所求函数的最值． 解　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－×－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx ＝－sin. 依题意知＝4×，ω0，所以ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin. 当π≤x≤时，≤2x－≤. 所以－≤sin≤1. 所以－1≤f(x)≤. 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1. 题型三　三角函数图象的变换 例3　已知函数f(x)＝sin(ωx＋)，其中ω0，且函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数m＝________. 破题切入点　由相邻两对称轴间距离得出周期进而求出ω，再由平移后为偶函数得出m的最小值． 答案　 解析　依题意，可得＝， 又T＝，故ω＝3， 所以f(x)＝sin(3x＋)． 函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为 g(x)＝sin[3(x＋m)＋]． g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)， 即m＝＋(k∈Z)， 从而最小正实数m＝. 总结提高　(1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤：①最值定A：即根据给定函数图象确定函数的最值即可确定A的值．②周期定ω：即根据给定函数图象的特征确定函数的周期，利用周期计算公式T＝求解ω.③最值点定φ：即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标，代入函数解析式求解φ的取值，注意利用中心点求解φ时，要验证该点所在的单调区间以确定φ，否则会产生增解． (2)三角函数的简单性质主要包括：定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性，对称性注意各三角函数的对称中心和对称轴，求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简再去研究，周期性的求解注意公式中应为|ω|而不是ω，单调性要将x的系数化成正的．本部分题目注意要将ωx＋φ当作一个整体． (3)对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx＋φ写成ω(x＋)最后确定平移的单位和方向．伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分． 1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(　　) A．y＝4sin(4x＋) B．y＝2sin(2x＋)＋2 C．y＝2sin(4x＋)＋2 D．y＝2sin(4x＋)＋2 答案　D 解析　由题意得解得 又函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小正周期为， 所以ω＝＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2. 又直线x＝是函数图象的一条对称轴， 所以4 ×＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝kπ－(k∈Z)， 故可得y＝2sin(4x＋)＋2符合条件，所以选D. 2．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sin ωx·cos ωx，x∈R，又f(α)＝－，f(β)＝，若|α－β|的最小值为，则正数ω的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　f(x)＝＋sin 2ωx ＝sin 2ωx－cos 2ωx＋ ＝sin(2ωx－)＋， 又由f(α)＝－，f(β)＝， 且|