2015届高考数学练透考纲真题：专题4 第18练.docVIP

第18练　三角函数化简与求值策略 [内容精要]　三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查学生的运算求解能力．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较容易的题目，这就要求学生在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要求学生要熟练记忆并掌握以致灵活运用． 题型一　利用同角三角函数基本关系式化简与求值 例1　已知tan α＝2，求： (1)的值； (2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α的值． 破题切入点　本题是关于正、余弦的齐次式，一般是同时除以余弦的相应次数，构造出关于该角的正切关系式，然后将正切值代入求解． 解　(1)方法一　∵tan α＝2， ∴cos α≠0， ∴＝ ＝＝＝. 方法二　由tan α＝2，得sin α＝2cos α，代入得 ＝ ＝＝. (2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α ＝ ＝ ＝＝. 题型二　利用诱导公式化简与求值 例2　(1)化简：； (2)求值：sin 690°·sin 150°＋cos 930°·cos(－570°)＋tan 120°·tan 1 050°. 破题切入点　(1)利用诱导公式化成只含有角α的三角函数值，然后利用同角三角函数基本关系式求解． (2)利用诱导公式将各值化成锐角的三角函数值代入计算． 解　(1)方法一　原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝－·＝－1. 方法二　原式＝ ＝ ＝ ＝－1. (2)原式＝sin(720°－30°)·sin(180°－30°)＋cos(1 080°－150°)·cos(720°－150°)＋tan(180°－60°)·tan(1 080°－30°) ＝－sin 30°sin 30°＋cos 150°cos 150°＋tan 60°tan 30° ＝－＋＋1＝. 题型三　利用其他公式、代换等化简求值 例3　(1)已知α是锐角，且＝，求角α的值； (2)求值：tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°. 破题切入点　(1)利用平方差公式将分子展开，然后再利用二倍角公式将等号左边化成关于角α的某个三角函数，进而求出． (2)逆用两角和的正切公式． 解　(1)∵ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝tan α， ∴由已知可得tan α＝. 又∵α是锐角，∴α＝. (2)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40° ＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40° ＝tan 60°－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40° ＝. 总结提高　(1)三角函数的化简是指综合利用诱导公式、同角基本关系式、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式，将较复杂的三角函数式进行化简，三角函数的求值问题要始终围绕“角”做文章．特殊角的相互转换，角的分解，角的合并等都在求值的过程中起着重要作用． (2)在运用同角三角函数关系及诱导公式时，要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，在进行开方时要根据角的象限或范围判断符号． (3)三角化简与求值是三角函数的基础，常用的方法有： ①弦切互化：主要利用公式tan x＝进行弦切间的互化． ②和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． ③巧用1或其他数值的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan 等． 注意求值与化简后的结果要尽可能有理化，整式化． 1．若sin(π＋α)＝－，则cos α等于(　　) A．± B. C．± D. 答案　C 解析　由sin(π＋α)＝－，得－sin α＝－， 即sin α＝， ∴cos α＝±＝±. 2．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　A 解析　tan α＋tan β＝3，tan α×tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝＝－3. 3．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x) ＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)[－cos(70°＋x)] ＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°) ＝sin(65°－x＋x－20°) ＝sin 45°＝. 4．的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 5．若0α，－β0，cos＝，cos＝，则cos