2015届高考数学练透考纲真题：专题3 第9练.docVIP

第9练　分段函数，剪不断理还乱 [内容精要]　分段函数也是各省市考题中的一个热点，往往表现为求函数值，考查方式主要是选择题和填空题，有时借助函数图象考查函数零点问题． 题型一　分段函数的值域问题 例1　函数f(x)＝的值域为________． 破题切入点　求各段值域，然后求并集． 答案　(－∞，2) 解析　因为当x≥1时，f(x)＝log2＝－log2x≤0， 当x1时，0f(x)＝2x2，所以函数f(x)的值域为(－∞，2)． 题型二　分段函数的零点问题 例2　已知函数f(x)＝则关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有5个不同实数解的充要条件是(　　) A．b－2且c0 B．b－2且c0 C．b－2且c＝0 D．b≥－2且c＝0 破题切入点　分类讨论思想，结合函数图象解决． 答案　C 解析　对比选项不难发现可以从c＝0，c≠0两种情形来考虑．若c＝0，则x＝0是方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0其中的一个根，且f(x)[f(x)＋b]＝0，此时f(x)≠0，所以f(x)＋b＝0，因此当－b2时，f(x)＋b＝0有四个根，满足题意，所以b－2.综上可选C. 题型三　分段函数的综合性问题 例3　已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 破题切入点　分段函数奇偶性的概念，结合图象分类讨论． 解　(1)∵函数f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． 当x0时，－x0，有(－x)2－mx＝－(－x2＋2x)， 即x2－mx＝x2－2x. ∴m＝2. (2)由(1)知f(x)＝ 当x0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， ∴当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减； 当x∈(0,1]时，f(x)单调递增． 当x0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∴当x∈(－∞，－1]时，f(x)单调递减； 当x∈[－1,0)时，f(x)单调递增． 综上知：函数f(x)在[－1,1]上单调递增． 又函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增． ∴解之得1a≤3. 故实数a的取值范围是(1,3]． 总结提高　(1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (2)在求分段函数f(x)解析式时，一定要首先判断x属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式． 1．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 答案　D 解析　当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1； 当x1时，1－log2x≤2，解得x≥， 所以x1.综上可知x≥0. 2．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　) A．(0,3) B．(0,3] C．(0,2) D．(0,2] 答案　D 解析　由题意，得解得0a≤2. 3．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝ 则f(x)的值域是(　　) A．[－，0]∪(1，＋∞) B．[0，＋∞) C．[－，＋∞) D．[－，0]∪(2，＋∞) 答案　D 解析　由xg(x)得xx2－2， ∴x－1或x2； 由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2. ∴f(x)＝ 即f(x)＝ 当x－1时，f(x)2；当x2时，f(x)8. ∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)． 当－1≤x≤2时，－≤f(x)≤0. ∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－，0]． 综上可知，f(x)的值域为[－，0]∪(2，＋∞)． 4．已知f(x)＝ 则下列函数的图象错误的是(　　) 答案　D 解析　先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个长度单位即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确． 5．设函数f(x)＝若f(m)f(－m)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 答案　D 解析　方法一　若m0，则－m0，f(m)＝＝－log2m，f(－