2015届高考数学练透考纲真题：专题3 第16练.docVIP

第1练　导数的综合应用 [内容精要]　在高考中，函数与导数的综合解答题基本上每年都有，其分值比重占的也比较高，所以做好函数与导数解答题非常重要．试题多以函数知识为载体，主要考查利用导数研究函数的性质，充分体现导数的工具性． 题型一　利用导数研究函数图象 例1　函数f(x)＝x2sin x＋xcos x的图象大致是(　　) 破题切入点　利用导数确定函数的单调性． 答案　A 解析　方法一　因为f(－x)＝x2sin(－x)－xcos x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝x2sin x＋xcos x为奇函数， 图象关于原点对称，排除C，D， 又当0x时，f(x)0，所以选择A. 方法二　因为f(－x)＝x2sin(－x)－xcos x ＝－f(x)， 所以函数f(x)＝x2sin x＋xcos x为奇函数， 图象关于原点对称，排除C，D， 又f′(x)＝xsin x＋x2cos x＋cos x－xsin x＝(x2＋1)cos x， 所以当0x时，f′(x)0， 函数单调递增，排除B，选择A. 题型二　利用导数研究函数的零点或方程的根 例2　设函数f(x)＝x3－ax2－ax，g(x)＝2x2＋4x＋c. (1)试判断函数f(x)的零点个数； (2)若a＝－1，当x∈[－3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围． 破题切入点　(1)对f(x)求导找出极值点、对a讨论看图象与x轴交点的个数． (2)结合两个函数的图象求解． 解　(1)f(x)＝x3－ax2－ax＝x(x2－ax－a)， 令f(x)＝0，得x＝0或x2－ax－a＝0.(*) 显然方程(*)的根的判别式Δ＝(－a)2－4××(－a) ＝a2＋a＝a(a＋)． 当a－或a0时，Δ0，方程(*)有两个非零实根， 此时函数f(x)有3个零点； 当a＝－时，Δ＝0，方程(*)有两个相等的非零实根， 此时函数f(x)有2个零点； 当a＝0时，Δ＝0，方程(*)有两个相等的零实根， 此时函数f(x)有1个零点； 当－a0时，Δ0，方程(*)没有实根， 此时函数f(x)有1个零点． 综上所述：当a－或a0时，函数f(x)有3个零点； 当a＝－时，函数f(x)有2个零点； 当－a≤0时，函数f(x)只有1个零点． (2)设f(x)＝g(x)，则x3－ax2－ax＝2x2＋4x＋c， 因为a＝－1，所以c＝x3－x2－3x. 设F(x)＝x3－x2－3x，x∈[－3,4]， 则F′(x)＝x2－2x－3，令F′(x)＝0， 解得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，F′(x)和F(x)的变化如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1，3) 3 (3，4) 4 F′(x) ＋ ＋ 0 － 0 ＋ ＋ F(x) －9   －9  － 由此可知F(x)在[－3，－1]，[3,4]上是增函数， 在[－1,3]上是减函数． 当x＝－1时，F(x)取得极大值F(－1)＝； 当x＝3时，F(x)取得极小值F(3)＝－9， 而F(－3)＝－9，F(4)＝－. 如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点， 则函数F(x)与y＝c的图象有两个公共点， 所以－c或c＝－9. 题型三　导数在实际问题中的应用 例3　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元．设该容器的建造费用为y千元． (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r. 破题切入点　考查圆柱及球的表面积与体积求法，函数关系式的建立及实际问题中定义域的求解，通过求导判断函数的单调性，从而确定函数的最值等问题． 解　(1)设容器的容积为V， 由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝， 故l＝＝－r＝(－r)． 由于l≥2r，因此0r≤2. 所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×(－r)×3＋4πr2c， 因此y＝4π(c－2)r2＋，0r≤2. (2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－ ＝(r3－)，0r≤2. 由于c3，所以c－20. 当r3－＝0时，r＝ . 令 ＝m，则m0， 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)． ①当0m2，即c时， 当r＝m时，y′＝0； 当r∈(0，m)时，y′0； 当r∈(m,2)时，y′0， 所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点． ②当m≥2，即3c≤时， 当r∈(0,2)时，y′0，函数单调递减， 所以r＝2是函数y的最小值点． 综上所述，当3c≤时，建造费用最小时r＝2； 当c时，建造费用最