2015届高考数学练透考纲真题：专题3 第13练.docVIP

第1练　高考对于导数几何意义的必会题型 [内容精要]　本部分题目考查导数的几何意义：即函数f(x)在x＝x0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为选择题和填空题或者在综合题的某一步中出现，内容就是求导，注意审题是过点(x0，y0)还是在点(x0，y0)的切线． 题型一　直接求切线或切线斜率问题 例1　已知f(x)＝x3＋f′()x2－x，则f(x)的图象在点(，f())处的切线斜率是________． 破题切入点　先对函数求导，将x＝代入求得f′()的值即是． 答案　－1 解析　f′(x)＝3x2＋2f′()x－1，令x＝， 可得f′()＝3×()2＋2f′()×－1， 解得f′()＝－1， 所以f(x)的图象在点(，f())处的切线斜率是－1. 题型二　转化为切线问题 例2　设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为(　　) A．1－ln 2 B.(1－ln 2) C．1＋ln 2 D.(1＋ln 2) 破题切入点　结合图形，将|PQ|的最小值转化为函数切线问题． 答案　B 解析　由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则＝1，∴x0＝ln 2，y0＝1， ∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln 2)， 则|PQ|的最小值为(1－ln 2)×2＝(1－ln 2)． 题型三　综合性问题 例3　(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 破题切入点　先利用导数的几何意义和已知的切线方程列出关于a，b的方程组，求出a，b的值；然后确定函数f(x)的解析式，求出其导函数，利用导函数的符号判断函数f(x)的单调性，进而确定极值． 解　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4 ＝ex(ax＋a＋b)－2x－4， ∵y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4， ∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4， ∴a＝4，b＝4. (2)由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2) ＝2(x＋2)(2ex－1)， 令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝ln ， 列表： x (－∞，－2) －2 ln f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  ∴y＝f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，； 单调减区间为. f(x)极大值＝f(－2)＝4－4e－2. 总结提高　(1)熟练掌握导数的几何意义，审准题目，求出导数，有时需要设切点，然后根据直线的点斜式形式写出切线方程． (2)一般两曲线上点的距离的最小值或一曲线上点到一直线上点的距离的最小值的求法都是转化为求曲线的切线，找出平行线然后求出最小值． (3)已知切线方程求参数的值或范围时要验证． 1．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为(　　) A．e2 B．e C. D．ln 2 答案　B 解析　由f(x)＝xln x得f′(x)＝ln x＋1. 根据题意知ln x0＋1＝2，所以ln x0＝1，因此x0＝e. 2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 答案　A 解析　切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)， 即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程为4x－y－3＝0. 3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2 答案　A 解析　易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝＝， 所以切线斜率k＝y′|x＝－1＝＝2. 由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 4．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　A 解析　依题意得y′＝1＋ln x，y′|x＝e＝1＋ln e＝2， 所以－×2＝－1，a＝2，故选A. 5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．0 答案　B 解析　f′(x)＝4ax3＋2bx， ∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.