2015届高考数学练透考纲真题：专题3 第11练.docVIP

第11练　寻图有道，破解有方——函数的图象问题 [内容精要]　函数图象在高考中占有非常重要的地位，每套题目中不止一次的被考查到．考查形式也多种多样，在知识上也涉及到各个方面的知识，有些直接考查函数图象，更有很多题目利用数形结合的思想来解决．所以我们要学会根据题目条件以及所学过的相关的函数性质准确地画出函数图象来解决这些问题． 题型一　对函数图象的直接考查 例1　(2013·四川)函数y＝的图象大致是(　　) 破题切入点　从函数定义域入手，考虑函数变化趋势，借助特殊值． 答案　C 解析　由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝＝0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C. 题型二　对函数零点的考查 例2　已知函数f(x)满足f(x)＝f()，当x∈[1,3]时，f(x)＝ln x．若在区间[，3]内，函数g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(0，) C．[，) D．[，) 破题切入点　求出f(x)在[，3]上的解析式，数形结合解决． 答案　C 解析　由题意可知当x在区间[，1]内时，∈[1,3]，f(x)＝f()＝ln ＝－ln x，则f(x)＝函数g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，即f(x)－ax＝0有三个不同的根，即f(x)＝ax有三个不同的根，即函数f(x)的图象与直线y＝ax有三个不同的交点，当x在区间[，1)上时，函数f(x)的图象与直线y＝ax有一个交点，当x∈[1,3]时，函数f(x)的图象与直线y＝ax有两个交点．当直线y＝ax过点(3，ln 3)时，a的值满足ln 3＝3a，即a＝；当直线y＝ax与f(x)相切时，设切点为(x0，ln x0)，则点(x0，ln x0)在直线上，故ln x0＝ax0，而a＝(ln x)′|x＝x0＝，所以ln x0＝1，x0＝e，即a＝＝，函数f(x)的图象与直线y＝ax有三个不同的交点，则a的取值范围是[，)． 题型三　综合考查函数图象 例3　已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称． (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围． 破题切入点　(1)根据对称性求f(x)的解析式，考查函数图象的对称变换． (2)求出g(x)的解析式，根据二次函数求字母a的取值范围． 解　(1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点为B′(x′，y′)，则∴ ∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋＋2. ∴2－y＝－x－＋2， ∴y＝x＋，即f(x)＝x＋. (2)∵g(x)＝x2＋ax＋1， 又g(x)在[0,2]上为减函数，∴－≥2，即a≤－4. ∴a的取值范围为(－∞，－4]． 总结提高　(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点． (2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质． (3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法． (4)在解决综合问题时，图象只能作为分析工具而不能作为解题过程，在应用过程中要使图象尽量准确． 1．(2013·山东)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为(　　) 答案　D 解析　函数y＝xcos x＋sin x为奇函数，排除B.取x＝，排除C；取x＝π，排除A，故选D. 2．(2014·课标全国Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为(　　) 答案　B 解析　如图所示，当x∈(0，)时，则P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，作MM′⊥OP，M′为垂足，则＝sin x，∴＝sin x，∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，则当x＝时，f(x)max＝；当x∈(，π)时，有＝sin(π－x)，f(x)＝－sin xcos x＝－sin 2x，当x＝时，f(x)max＝.只有B选项的图象符合． 3．(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k