2015届高考数学必考题型过关练：专题8 第42练.docVIP

第42练　随机变量及其分布列 [内容精要]　随机变量及其分布列是新课标高考的一个必考热点，主要包括离散型随机变量及其分布列，期望与方差，二项分布及其应用和正态分布．对本部分知识的考查，一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的分布列和期望；二是独立事件概率的求解；三是考查二项分布． 题型一　离散型随机变量的期望和方差 例1　2014年男足世界杯在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为. (1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P1，P2； (2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 破题切入点　(1)利用相互独立事件同时发生的概率公式，结合甲队获得第一名与乙队获得第一名的条件列出方程，从而求出P1，P2； (2)先根据比赛得分的规则确定甲队得分ξ的可能取值，然后利用相互独立事件的概率计算公式分别求解对应的概率值，列出分布列求其期望． 解　(1)根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队， 所以甲队获第一名的概率为P1×P2＝.① 乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队， 所以乙队获第一名的概率为(1－P1)×＝.② 解②，得P1＝，代入①，得P2＝， 所以甲队战胜乙队的概率为，甲队战胜丙队的概率为. (2)ξ可能取的值为0,3,6， 当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P(ξ＝0)＝(1－)×(1－)＝； 当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为P(ξ＝3)＝×(1－)＋×(1－)＝； 当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为P(ξ＝6)＝×＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 3 6 P 所以E(ξ)＝0×＋3×＋6×＝. 题型二　相互独立事件的概率 例2　红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6、0.5、0.5.假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率； (2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 破题切入点　设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则第(1)问就是求事件DE＋DF＋EF＋DEF的概率，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式进行计算． 第(2)问中的ξ可取0,1,2,3，分别对应事件 ， F＋E＋D ，DE＋DF＋EF，DEF，求出其概率就得到了ξ的分布列，然后按照数学期望的计算公式求数学期望． 解　(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件． 因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式，知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3. 因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1， P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35， P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式，得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6. 题型三　二项分布问题 例3　(2013·山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率； (2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望． 破题切入点　理解相互独立事件、二项分布的概念，掌握离散型随机变量的分布列与数学期望的计算． 解　(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3， 由题意，知各局比赛结果