2015届高考数学必考题型过关练：专题8 第40练.docVIP

第40练　二项式定理的两类重点题型——求和与求展开项 [内容精要]　二项式定理是一个恒等式，求解的问题主要有两类；学生需熟记公式，灵活运用，加以解决．形式主要是选择题和填空题． 题型一　用公式求展开项 例1　若(＋)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　) A．360 B．180 C．90 D．45 破题切入点　从第六项二项式系数最大可得n值，再利用展开式的通项公式即可． 答案　B 解析　依题意知：n＝10， ∴Tr＋1＝C()10－r·()r＝C2r·， 令5－r＝0，得r＝2， ∴常数项为C22＝180. 题型二　赋值法求系数之和 例2　若(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则a1＋a3＋…＋a2n－1＝________. 破题切入点　令x＝±1可得关于各项系数的两个方程，联立方程即可求解． 答案　 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝3n；① 令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n＝1.② ①－②，可得a1＋a3＋…＋a2n－1＝. 总结提高　(1)在使用通项公式Tr＋1＝Can－rbr时，通项公式表示的是第r＋1项的值，而不是第r项的值，展开式中第r＋1项的二项式系数C与第r＋1项的系数不同． (2)二项展开式中项的系数的和或差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，一般是对x赋值为±1或0.另外要注意掌握(1＋x)n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只需令x＝1即可．而要求(1－x)n的展开式中各项系数的绝对值的和，只需令x＝－1即可． 1．(2014·四川)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　) A．30 B．20 C．15 D．10 答案　C 解析　因为(1＋x)6的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cxr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15. 2．(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 答案　C 解析　因为f(m，n)＝CC， 所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) ＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. 3．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　) A．－150 B．150 C．300 D．－300 答案　B 解析　M＝n＝4n，N＝2n4n－2n＝2402n＝16n＝4，Tr＋1＝(－1)rC·54－r·r＝2，则(－1)2C·52＝150. 4．设a∈Z，且0≤a13，若512 012＋a能被13整除，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 答案　D 解析　化51为52－1，用二项式定理展开． 512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C522 012－C522 011＋…＋C×52×(－1)2 011＋C×(－1)2 012＋a. 因为52能被13整除， 所以只需C×(－1)2 012＋a能被13整除， 即a＋1能被13整除，因为0≤a13，所以a＝12. 5．若(1＋x)(2－x)2 011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 011x2 011＋a2 012x2 012，则a2＋a4＋…＋a2 010＋a2 012等于(　　) A．2－22 011 B．2－22 012 C．1－22 011 D．1－22 012 答案　C 解析　采用赋值法，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 011＋a2 012＝2，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 011＋a2 012＝0，把两式相加，得2(a0＋a2＋…＋a2 012)＝2，所以a0＋a2＋…＋a2 012＝1，又令x＝0，得a0＝22 011，所以a2＋a4＋…＋a2 010＋a2 012＝1－22 011.故选C. 6．设f(x)是6展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，5) B．(－∞，5] C．(5，＋∞) D．[5，＋∞) 答案　D 解析　由于Tr＋1＝Crx12－3r，故展开式中间的一项为T3＋1＝C·3·x3＝x3，f(x)≤mxx3≤mx在上恒成立，即m≥x2，又x2≤5，故实数m的取值范围是m≥5. 7．(2014·大纲全国)8的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答) 答案　70 解析　由Tr＋1＝C()8－r(－)r ＝(－1)rC知， 要求x2y2的系数，则解得r＝4， ∴x2y2的系数为(－1)4C