八年级上册数学《实数》考点突破.docVIP

《实数》考点突破 一、知识梳理 1.平方根 （1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的________.0的算术平方根是_____。 （2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于，即_____，那么这个数x就叫做的_______。 （3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。 （4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。 2.立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于，即_____，那么这个数x就叫做的立方根。 （2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。 （3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。 3.实数 （1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。 （2）实数的定义： _____和_____统称实数。 （3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。 （4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。 （5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。 4.实数的运算： （1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。 （2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为__________；__________。 二、考点例析 考点1 平方根、立方根的定义与性质 例1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。 ①625 ②（-2）2 ③（-1）3 （2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。 ① ②-343 ③-22 分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。 解：（1）①因为6250，故其平方根有两个，即±=±25；②因为（-2）2=40，故其平方根有两个，即±=±2；③因为（-1）3=-10, 故其不存在平方根。 （2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。①； ② ； ③-22的立方根。 说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。 考点2 实数的分类与性质 例2 下列各数中： －，，3.14159, －π,,－,0,0.,,,2.121122111222… 其中有理数有__________________________；无理数有__________________________。 　　分析：对于、等应先化简再判断。 解：有理数：－，3.14159,0,0.3,, 无理数有：,－π,,－,2.12112111222…… 说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。 例3 的相反数是 ；的绝对值是 ；-的倒数是 。 分析：如果表示一个正实数，那么－就表示一个负实数，与－互为相反数；0的相反数依然是0。一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。非零实数a的倒数是。 解：的相反数是1-；的绝对值是；-=-，所以-的倒数是-。 说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义是一样的。 考点3 实数的运算 例4 （1）计算： （2）化简得（ ） （A）-2 （B） （C）2 （D） 分析：有理数的运算法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。 解：（1）原式=0.2×=； （2）=－2。故选（A）。 说明：在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。 考点4 非负数 例5 已知，为实数，且，则的值为（ ）. （A）3 （B）－3 （C）1 （D）－1 分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个非常重要的性质：若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。利用这个性质可解本题， 解：