乘法公式培优专题 2.docVIP

现在出发准备好了吗 提问开始你们都要回答 跟上节奏，启动查克拉 ARE YOU READY？ LET‘S GO！ 初中数学竞赛专题 ——乘法公式 石狮一中 黄约翰 一、内容提要 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2 立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广： 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） （a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式 （a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 ………… 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数 (a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n (a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地： （a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+…＋abn－2+bn－1)=an－bn　 公式的变形及其逆运算 由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab 由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b) 5. 由公式的推广③可知：当n为正整数时 an－bn能被（a－b）整除, 　　　　 a2n+1+b2n+1能被（a+b）整除, a2n－b2n能被（a+b）及（a－b）整除。 1.填空： ①a2+b2=(a+b)2－___ __ ②(a+b)2=(a－b)2+_ _ ③a3+b3=(a+b)3－3ab( _) 　 ④a4+b4=(a2+b2)2－_ _ ⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－_ ___ 　 ⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－__ _ 2.填空： ①(x+y)(____ __ _____)=x4－y4 　 ②(x－y)(___ _____)=x4－y4 ③(x+y)( ___ ________)=x5+y5 　　 ④（x－y）(___ _____)=x5－y5　，那么= 。 7.计算：= 。 8.已知满足，则代数式= 。 9.已知，则= 。 10.已知，则代数式= 。 11.若，则= 。 12.若，则的个位数是 。 13. ，则= 。 14.如果正整数满足方程，则这样的正整数对的个数是 。 15已知， 则= 。 16.计算： 17.已知x+=3, 求①x2+ ②x3+ ③x4+的值 18.化简： ①（a+b）2(a－b)2 ②(a+b)(a2－ab+b2) ③(a－b)((a+b)3－2ab(a2－b2) ④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c) 19.己知a+b=1,　求证：a3+b3－3ab=1 20.己知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值 21.求证：233＋1能被9整除 22.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方 23．设的值．