角的问题之一——角的证明.pdfVIP

2 中 等 数 学 ●数学活动课程讲座● 角的问题之一 ———角的证明 黄 全 福 (安徽省怀宁县江镇中学 ,246142) 　　(本讲适合初中) B F ,联结 PA ′、PB ′、AB ′、BA ′. 易得 综观近几年国内外各类数学竞赛 ,涉及 PA ′= PA , PB ′= PB , 角的问题常有出现. 这主要表现在两个方面 : 且 　A ′B = 2 DE = 2 DF = AB ′. ( ) 从而 , △PA ′B ≌△PAB ′. 1 角的证明 ; (2) 角的计算. 于是 , ∠A ′PB = ∠A PB ′. 本文侧重讨论角的证明. 其主要内容有 : 所以 , ∠A ′PA = ∠B ′PB . ( ) 易知 △PAA ′∽ △PBB ′. 1 证明角的相等 ; (2) 证明角的互补 ; 因此 , ∠PAA ′= ∠PBB ′,即 (3) 证明角的和、差、倍、分的等量关系. ∠PA E = ∠PB F . 至于角的不等关系 ,限于篇幅 ,这里不打 评注 :凡出现有中点的题目 ,要么将三角 算涉及. 形某一部分绕着中点旋转 180°,要么取另一 角的证明与计算 ,通常要用到以下知识 : 边中点 ,构造三角形的中位线. 这是两种比较 ( ) ( ) 1 三角形 或多边形 的内角和定理; 有效的变换技巧. ( ) 【思考】若取 PA 、PB 的中点为M 、N ,联 2 全等三角形、相似三角形的性质定 理 ; 结 DM 、DN 、EM 、FN , 你能证明 ∠PA E = ( ) ( 3 四点共圆知识 四点一旦共圆 ,与圆 ∠PB F 吗 ? ) 有关的角的定理立刻就有了用武之地 ; 例 2 　在凸四边形 ABCD 中 , P 在 ( ) 4 三角形的“四心”性质 ,尤其是外心、 △BCD 内部. 已知 ∠PBC = ∠ABD , ∠PDC = 内心、垂心对于一边的张角公式等. ∠ADB . 求证 : ∠A PD 与 ∠B PC 互补. 下面举例说明. 讲解 : 如图 2 , 例 1 　在 △ABC 中 , D 为AB 的中点 , 点 在 CD 上取点 G ,使 E 、F 分别在射线 CA 、CB 上 ,且 DE = DF ,过 ∠PGD = ∠ABD , 点 E 、F 分别作 CA 、CB 的垂线得交点 P . 求