函数性态的研究.ppt

* 6 函数性态的研究 函数的单调性、极值、 最值、 凹凸性 初等函数的定性作图 研究内容 研究方法 用导数及中值定理 一、函数的单调性(monotonicity) 单调减情况： 单调增情况： * 定理 1 (函数单调性的判定-P.147) （简述证明.） * 对于单调减的情况, 结论恰好反过来, 请 同学们自己叙述并证明。 推论 在定理的条件下,若除有限个点的导数 为零外, 则 在 I 上严格 单调增加 (减少) . * 例如： 其导函数 加，如图。 * * 例1 解 * * 列表讨论其单调性如下? 严格单增 严格单增 严格单减 严格单减 函数的图形如下： 严格单增 严格单减 1.此例再次说明函数的单调性不是整体 2.这些区间彼此之间是以 的零点及 不可导点为分界点的， 的符号判定 的单调性； 性质，通常是要分区间说明的； 区间内则以导数 * 3.通过用导数研究单调性, 还可以证明一 些不等式, 见下例 ? 例2 证明：当 证 * 故选辅助函数： * * 二、函数的极值(extremum) Fermat引理已给出了函数取得极值 的必要条件，即： 驻点 * 1.从Fermat 引理可知, 极值点必是这样的 点 x : (见图) 如: * o 但 * 定理 2 (判定极值的第一充分条件P.149) 有关极值结论 请见下图. * 例3 求函数 解 (1) 先求出所有可能的极值点 ( 即驻点 和不可导点)； * (2) 讨论驻点及不可导点两侧 的符号， 以确定极大小点；(列表说明，见后) (3) 若要求的话，算出 的极值。 * 严格单增 严格单减 严格单减 严格单减 的图形如下 ? * * 定理 3 (判定极值的第二充分条件P.150) 小 大 * 证明思路：由 Taylor 公式 这项的符号是证明关键 0 = 注意到若 ，则 定理3 同样无法判 定极值，但是受上述证明的启发，可以得到 下面更一般的定理。—— * * * * * *