函数值域求法大全.ppt

* * * * * * 例10 求函数 的值域。 分析：利用三角函数的有界性较数形结合 为点(2,0)与点(cosx,-sinx)连线的斜率的过程要简单。 解：将原函数化为sinx+ycosx=2y 例11 求函数 y=√x2-2x+10+√x2+6x+13的值域。 分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。 A1(1,-3) y A(1,3) B(-3,2) x o P A1(1,-3) y A(1,3) B(-3,2) x o P 将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。 解：函数变形为 y=√(x-1)2+(0-3)2+√(x+3)2+(0-2)2. A1(1,-3) y A(1,3) B(-3,2) x o P 如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，可证明 所以原函数值域的为y∈[√41,+∞). * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 考点扫描： 函数是高中数学重要的基础知识，高考试题中始终贯穿考查函数概念及其性质这一主线。特别是函数的三要素，反函数，函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性以及函数最值等有关性质已经成为高考经久不衰的命题热点，而且常考常新，根据对近年来高考试题的分析研究，函数综合问题呈现以下几个特点： 1、考查函数概念、逻辑推理能力和必要的数学解题思想方法。 2、考查抽象函数、发散思维能力以及解决函数综合问题的特殊思想方法如数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等。 3、考查函数与不等式、数列、几何等知识交叉渗透以及综合应用。 4、考查以函数为模型的实际应用问题，培养学生的应用意识。 这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。 求函数值域方法很多，常用方法有： （1） 配方法 （3）判别式法 （2） 换元法 （4）不等式法 （5）反函数法、 （6）图像法（数形结合法） （7）函数的单调性法(导数） （8）均值不等式法 例1 求函数 如图， ∴y∈[-3/4,3/2]. 分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。 o x y -1 1 3/2 -3/4 1/2 例2 求函数 分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。 解法2：（函数的单调性法） 是增函数，u取最小值时，y也取最小值。 解法2：（函数的单调性法） ∴原函数的值域为 例3 求函数 的反函数的定义域. 分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的 值域，可用不等式法求解。 解：变形可得 ∴反函数的定义域为(-1,1)。 例4 求下列函数的值域： (1) y=6x2-2x3, (0x3);  (2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围（99年高考题）。 分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函数值域问题，变形恰当，柳暗花明。 (1)解：原函数可变形为： 当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0x3时函数y的值域为y∈〔9，+∞）。 （2）解法1(均值不等式) 当且仅当a=3时取等号。 故ab∈〔9，+∞） 解法2：（不等式法） 当a=3,b=3时取等号， 故ab ∈〔9，+∞）. 例5 求下列函数的值域： 分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。 例5 求下列函数的值域： 例6 求下列函数的值域： 分析：求复合函数的值域，利用函数的单调性采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域的取值范围。 解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞),则y=2u≧2-1=1/2； 故值域是y ∈〔1/2,+∞). (2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2, 且u0, 故y=log1/2u的定义域为（0，2]上的减函数， 即原函数值域的为y ∈〔-1,+∞)。 分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍。 (1)可用配方法或判别式法求解; （2）可用单调有界性解之。 例7 求下列函数的值域： 解法1：不难看出y≥0,且可得定义域为3≤x≤ 5,原函数变形为： 例7 求下列函数的值域： 由x∈[3,5]知，-x2+8x-15 ∈[0,1], 即当x=4时