（正弦定理、余弦定理）教案四：正弦定理、余弦定理(二).docVIP

●教学时间 第二课时 ●课 题 §5.9.2 正弦定理、余弦定理(二) ●教学目标 (一)知识目标 余弦定理 (二)能力目标 1.了解向量知识应用； 2.掌握余弦定理推导过程； 3.会利用余弦定理证明简单三角形问题； 4.会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题； 5.能利用计算器进行运算. (三)德育目标 通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. ●教学重点 余弦定理证明及应用. ●教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程； 2.余弦定理在解三角形时的应用思路. ●教学方法 1.启发学生在证明余弦定理时与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时，注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系. 2.课题引入与§5.9.1中所提出的在三角形中已知两边夹角时，如何解三角形，随着问题的解决而引出本节研究的余弦定理，然后再通过向量知识给予证明，引起学生对向量知识的学习兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处. 3.启发引导学生注意余弦定理的各种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解求证目的. ●教具准备 投影仪、幻灯片两张. 第一张：课题引入图片(记作§5．9．2 A) 如图(1)在Rt△ABC中，有a2＋b2＝c2 问题：在图(2)、(3)中，能否用b、c、A，求解a? 第二张：余弦定理(记作§5.9.2 B) 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 形式一： a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 形式二：cosA= cosB= cosC= ●教学过程 Ⅰ.课题导入 师：上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决，下面我们来看投影片§5.9.2 A，如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题. 在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a. 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CＤ、ＤB表示，而CD可在Rt△AＤC中利用边角关系表示，DB可利用AB－AD转化为AD，进而在Rt△AＤC内求解. 解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CＤB中，根据勾股定理可得： a2＝CＤ2＋BＤ2 ∵在Rt△AＤC中，CＤ2＝b2－AＤ2 又∵BＤ2＝（c－AＤ）2＝c2－2c·AＤ＋AＤ2 ∴a2＝b2－AＤ2＋c2－2c·AＤ＋AＤ2＝b2＋c2－2c·AＤ 又∵在Rt△AＤC中，AD＝b·cosA ∴a2＝b2＋c2－2bccosA 类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC 另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出投影片§5.9.2 B) Ⅱ.讲授新课 1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 在投影片§5.9.2 B中我们可以看到它的两种表示形式： 形式一： a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 形式二： cosA= cosB= cosC= 师：在余弦定理中，令C＝90°，这时，cosC＝0，所以c2＝a2＋b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用. 2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析 师：由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现，那么可以与哪些向量知识产生联系呢? 生：向量数量积的定义式：a·b＝｜a｜·｜b｜·cosθ，其中θ为a、b的夹角. 师：在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处，但又有所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换，也就省去添加辅助向量的麻烦.当然，在各边所在向量的联系上