（算术平均数与几何平均数A）例题（三）.docVIP

［例1］已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0 求证：≥4 选题意图：考查“a、b为正实数，a＋b≥2”的变式应用. 证明： ≥=4(当且仅当a=b且c=d时取等号) ∴≥4 说明：①不等式的左边可化为② ≥2 a、b同号，≥2＝2 c、d同号，③互为倒数的两个正数之和不小于2. ［例2］已知a、b、c∈R，求证ac+ab+bc≤a2＋b2＋c2. 选题意图：考查公式a2＋b2≥2ab的应用.几个这样的同向不等式相加时，注意“等号”能否成立. 证明：a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“＝”) b2＋c2≥2bc(当且仅当b=c时取“＝”) c2＋a2≥2ac(当且仅当a=c时取“＝”) ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac) 即ac+ab+bc≤a2＋b2＋c2(当且仅当a=b=c时等号成立) 说明：若a、b、c为不全相等的实数，则等号不成立. ［例3］若x∈R且x≠0，求函数y＝x＋的值域. 选题意图：应用正数的算术平均数不小于几何平均数这一定理求值域注意三条：一正、二定(和或积定值)、三能等. 解：当x＞0时，y＝x＋≥2＝2 (当且仅当x＝即x=1时取等号) ∴当x＞0时y∈［2，＋∞ 当x＜0时，－x＞0，－＞0 y＝x＋＝－(－x－) ∴－x－≥2≥2(当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号) ∴－(－x－)≤－2 即y≤－2 也就是当x＜0时y∈(－∞，－2］. 综上述，函数值域(－∞，－2］∪［2，＋∞) 说明：应用均值不等式注意三条：1°字母(或代数式)为正.2°积(或和)为定值.3°等号能成立.简记为：一正、二定、三能等.