直线划分平面区域的应用（简单的线性规划）.docVIP

直线划分平面区域的应用 定理 在平面直角坐标系中，直线Ax+By+C=0(不防设A0，B0为直线l;A0,B0为直线l’)上的点P（x0,y0）使得Ax0+By0+C=0(A0，B0),或Ax0+By0+C0(A0，B0);直线下方的点P（x0,y0）使得Ax0+By0+C0(A0，B0)，或Ax0+By0+C0(A0，B0).下面就其在解题中的应用给出几个范例. 例1 已知两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）的连线交另一已知直线l：Ax+By+C=0于点P，P2不在直线l上，求证： 证明：设点P分线段P1P2，所成的比为，则点P的坐标为（） 又点P在直线Ax+By+C=0上， 整理，得（Ax1+By1+C）+λ(Ax2+By2+C)=0. ∵点P2不在直线Ax+By+C=0上. ∴Ax2+By2+C≠0 ∴. 例2 用解析法证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值. 证明：建立直角坐标系，如图，设边长为2a，则A（0，a），B（-a,0），C(a,0),直线AB的方程为直线AC的方程为直线BC的方程为y=0. 设P(x0,y0)是△ABC内任意一点，则 . ∵点P在直线AB，AC的下方， ∴(定值). 例3 已知三角形的三边AB、AC、BC所在的直线方程分别为3x+4y+2=0、3x-4y+12=0、4x-3y=0,求其内切圆的圆心坐标和半径. 解:设P(x0,y0)为△ABC的内心，则P在AC的下方，在BC、AB的上方，于是有 ∴内切圆圆心的坐标为（），半径 例1 设P（x,y）为圆x2+（y-1）2=1上的任一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，c的取值范围是（ ）. A．[] B.[） C.() D.() 解：根据直线对于平面区域划分的定理，要使x+y+c≥0 恒成立，圆x2+(y-1)2=1必须在直线x+y+c=0的上方，即c0,且圆心（0，1）到直线x+y+c=0的距离大于或等于1，于是 ∴应选B 例5 已知集合 A=，则A、B、C的关系是（ ）. A. B. C. D. 解：依直线划分平面区域的定理，A就是图中的小正方形，B是圆面积，C就是大正方形，于是.应选C. —1—