习题十（直线的方程）.docVIP

［例1］过点P(2，1）作直线l交x，y正半轴于AB两点，当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求直线l的方程. 解：设直线l的方程为： y－1＝k（x－2）（k≠0） 令y＝0解得x＝2－ x＝0，解得y＝1－2k ∴A（2－，0），B（0，1－2k）， ∴｜AP｜·｜BP｜＝ 当且仅当k2＝1即k＝±1时，｜PA｜·｜PB｜取到最小值. 又根据题意k＜0∴k＝－1 所以直线l的方程为：x＋y－3＝0 评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k＝1的情形. ［例2］一直线被两直线l1：４x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程. 解：设所求直线与l1，l2的交点分别是A、B，设A(x0，y0），则B点坐标为(－x0，－y0) 因为A、B分别在l1，l2上， 所以 ①＋②得：x0＋6y0＝0，即点A在直线x＋6y＝0上，又直线x＋6y＝0过原点，所以直线l的方程为x＋6y＝0. ［例3］直线Ax＋By－1＝0在y轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( ) A. A＝，B＝1 B.A＝－，B＝－1 C.A＝，B＝－1 D.A＝－，B＝1 解：将直线方程化成斜截式 y＝－. 因为＝－1，B＝－1 故否定A、D. 又直线x－y＝3的倾斜角α＝， ∴直线Ax＋By－1＝0的倾斜角为2α＝， ∴斜率－＝- ∴A＝－ ∴A＝－，B＝－1 故选B. ［例4］若直线Ax＋By＋C＝0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件( ) A.A、B、C同号 B.AC＜0，BC＜0 C.C＝0，AB＜0 D.A＝0，BC＜0 解法一：原方程可化为y＝－x－（B≠0）. ∵直线通过第二、三、四象限， ∴其斜率小于0，y轴上的截距小于0，即－＜0，且－＜0 ∴＞0，且＞0 即A、B同号，B、C同号. ∴A、B、C同号，故选A. 解法二：(用排除法) 若C＝0，AB＜0，则原方程化为y＝－x. 由AB＜0，可知－＞0. ∴此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C. 若A＝0，BC＜0，则原方程化为y＝－. 由BC＜0，得－＞0. ∴此时直线与x轴平行，位于x轴上方，经过一、二象限.故排除D. 若AC＜0，BC＜0，知A、C异号，B、C异号 ∴A、B同号，即AB＞0. ∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除B. 故A、B、C同号，应选A. ［例5］直线y＝ax＋b（a＋b＝0）的图象是( ) 解法一：由已知，直线y＝ax＋b的斜率为a，在y轴上的截距为b. 又因为a＋b＝0. ∴a与b互为相反数，即直线的斜率及其在y轴上的截距互为相反数. 图A中，a＞0，b＞0， 图B中，a＜0，b＜0 图C中，a＞0，b＝0 故排除A、B、C.选D. 解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率a≠0，于是令y＝0，解得x＝－. 又因为a＋b＝0 ∴a＝－b，∴x＝－＝＋1 ∴直线在x轴上的截距为1，由此可排除A、B、C，故选D. ① ②