习题五（含有绝对值的不等式B）.docVIP

三、概念辨析题 判断下列命题的正确性： (1)任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； (2)平行于x轴的直线倾斜角是0或π； (3)直线的斜率的范围是(－∞，＋∞）； (4)过原点的直线，斜率越大越靠近y轴； (5)两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等； (6)两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等. 解析：命题(1)错误，如直线x＝1，倾斜角为，但是斜率不存在. 命题(2)错误，由倾斜角的范围0°≤α＜1８0°，可知平行于x轴的直线倾斜角为0°； 命题(3)正确.可结合正切函数在［0，π）的图象说明； 命题(4)错误，当倾斜角在［0，）范围内，斜率越大越靠近y轴，当倾斜角在(，π）范围内，斜率越大越靠近x轴非正半轴. 命题(5)正确，由正切函数在［0，π）范围内的单调性可知. 命题(6)错误.当两直线倾斜角为时，斜率不存在，也就不能说斜率相等. 综上所述，命题(3)、(5)正确，(1)、(2)、(4)、(6)错误. 四、参考例题 ［例1］直线l过点A（1，2），B（m，3），求l的斜率与倾斜角. 分析：此题意在使学生熟悉直线的斜率公式，但由于点B坐标中含有参数，故借此锻炼学生的分类讨论的意识，同时注重讨论的合理性与全面性. 解：(1)先考虑此直线斜率不存在的情形，显然m＝1，此时l的倾斜角为； (2)若斜率存在，设此斜率为k，倾斜角为α，此时m≠1，k＝tanα＝， （ⅰ)当m＞1时，k＞0，倾斜角为锐角， α＝arctan； （ⅱ）当m＜1时，k＜0，倾斜角为钝角， α＝π＋arctan. ［例2］平面上有相异的两点A(cosθ，sin2θ）和B（0，1），求经过A、B两点的直线的斜率及倾斜角的范围. 分析：根据A、B为相异两点可知cosθ≠0，则sin2θ≠1，故排除了经过A、B两点的直线斜率为0或斜率不存在的情形，这一点对于正确求解直线斜率及倾斜角的范围具有关键性作用. 解：∵A、B相异两点，∴cosθ≠0，此时sin2θ≠1. 故A、B两点的横纵坐标均不相同，因此，直线AB的斜率存在且不为0. 设直线AB的倾斜角为α，斜率为k.则k＝tanα＝＝－cosθ ∵tanα＝－cosθ≠0 ∴k∈［－1，0）∪（0，1]，α∈（0，]∪［，π） ［例3］直线l的斜率为k，倾斜角是α，若－1＜k＜1，则α的取值范围是 . 分析：本题考查直线倾斜角的变化范围，即0≤α＜π，可转化为已知tanα的范围求α范围，可以利用正切函数的图象解决，在体现与三角函数的联系的同时又体现了数形结合的解题思想. 解：如图，作出正切函数y＝tanα（0≤α＜π）的图象. ∵tan＝1，tanπ＝－1. 再观察图象可知： 当－1＜k＜1时，倾斜角α的取值范围是：0≤α＜或π＜α＜π. ［例4］求直线x－ysinθ＋1＝0的倾斜角变化范围. 分析：此题中y的系数为变量sinθ，应注意对sinθ＝0，sinθ≠0的分情况讨论，同时注意不等式的性质、三角函数的性质、图象的综合运用. 解：（ⅰ）当sinθ＝0时，倾斜角为； （ⅱ）当sinθ≠0时，直线斜率k＝，即tanα＝. 由sinθ＞0得≥， 由sinθ＜0得≤－， ∴tanα≤－或tanα≥. 如图，观察正切函数y＝tanα(0≤α＜π）的图象可得： . 综合（ⅰ）、（ⅱ）可知： α的取值范围：［］.