习题五（抛物线和简单几何性质）.docVIP

四、参考例题 ［例1］如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程. （1998年全国高考题） 分析：因为曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.根据抛物线定义知，曲线段C为以N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程. 解：以l1为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系. 由题意，曲线段C是N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两个端点. ∴设曲线段C所满足的抛物线方程为 y2=2px(p＞0)(xA≤x≤xB,y＞0),其中xA、xB为A、B的横坐标 令|MN|=p，则M（-,0）,N(,0) ∵|AM|=,|AN|=3 ∴由两点间的距离公式，得方程组 解得 ∵△AMN为锐角三角形 ∴＞xA 则p=4,xA=1 又B在曲线段C上， ∴xB=|BN|-=6-2=4 则曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y＞0). ［例2］如图所示，设抛物线y2=2px(0＜p＜1)与圆(x-5)2+y2=9在x轴上方的交点为A、B，与圆(x-6)2+y2=27在x轴上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点. （1）求|PQ|. （2）求△ABQ面积的最大值. 分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出|PQ|. 解：（1）设A（xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D（xD,yD),P(x1,y1),Q(x2,y2) 由 得：x2-2(5-p)x+16=0 ∴x1= y1= 由 得：x2-2(6-p)x+9=0 ∴x2= y2= 同y1类似,y2= 则|x1-x2|=1,|y1-y2|=0 ∴|PQ|=1 (2)S△ABQ=S△APQ+S△BPQ =|PQ|·|yA-yB| ∵0＜p＜1 ∴当p=时，S△ABQ取最大值.