习题五（简单的线性规划）.docVIP

［例1］不等式2x-y-6＞0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的（ ） A.左上方 B.右上方 C.左下方 D.右下方 分析：因直线2x-y-6=0不过原点，故可取原点（0，0）代入2x-y-6，得2×0-0-6=-6＜0，在直角坐标系中画出直线2x-y-6=0，结合图形可知与原点同在直线一侧的平面区域表示2x-y-6＜0，故2x-y-6=0右下方表示2x-y-6＞0. 解：在直角坐标系中画出直线2x-y-6=0，将原点（0，0）代入直线方程2x-y-6=0即可判定，应选D. ［例2］图中阴影部分可用二元一次不等式组表示（ ） A. B. C. D. 分析：结合图形可知，相关联的直线方程分别为x=0，y=-2，2x-y+4=0，再由原点(0,0）代入2x-y+4可知2×0-0+4=4＞0，故与原点同侧的平面区域表示2x-y+4≥0的区域. 解：找出相关直线方程后，将原点（0，0）坐标代入直线方程判定平面区域可知选C. ［例3］画出不等式组表示的平面区域图形，并计算它表示的平面区域的面积. 分析：分别画出直线x=3,x+y=0，x+5-y=0，再代点判定平面区域. 解：在直角坐标系画出直线x=3,x+y=0，x-y+5=0，因原点（0，0）不在直线x-y+5=0上，故将原点（0，0）代入x-y+5可知，原点所在平面区域表示x-y+5≥0部分，因原点在直线x+y=0上，故取（0，1）代入x+y判定可知点（0，1）所在平面区域表示x+y≥0部分，如图所示： 解相应的方程组可求出A、B、C三点的坐标分别为（3，8），（-），（3，-3）.为计算△ABC的面积，可将AC作底边，点B作三角形顶点. S△ABC=. ［例 4］求下面不等式组表示的平面区域内的整点. 分析：先画出不等式组所表示的平面区域，再根据图形找出整点. 解：如图 作直线l1：3x-2y-2=0，l2:x+4y+4=0,l3:2x+y-6=0，分别求出l1与l3的交点A（2，2），l1与l2的交点B（0，-1），l2与l3的交点C（4，-2），直线x=1与边界交于E（1，）、F（1，-），直线x=2与边界交于A（2，2）、G（2，-），直线x=3与边界交于M（3，0）、N（3，-）. 由图可看出（1，-1）、（1，0）、（2，1）、（2，0）、（2，-1）、（3，-1）即为所求的整点. ［例5］求不等式｜x-2｜+｜y-2｜≤2表示的平面区域的面积. 分析一：依绝对值的定义去掉绝对值符号. 解法一：｜x-2｜+｜y-2｜≤2 作出以上不等式组所表示的平面区域；它是边长为2的正方形，其面积为8. 分析二：因｜x-2｜+｜y-2｜=2是｜x｜+｜y｜=2向右、向上各平移2个单位而得到的，利用平移前后不改变图形的大小和形状解题. 解法二：｜x-2｜+｜y-2｜≤2是由｜x｜+｜y｜≤2经过向右、向上各平移2个单位得到的，所以｜x-2｜+｜y-2｜≤2表示的平面区域的面积等于｜x｜+｜y｜≤2表示的平面区域的面积，由于｜x｜+｜y｜=2图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域如图所示： 的面积为2.故｜x｜+｜y｜≤2的面积为4×2=8. ∴所求面积为8.