习题五（抛物线及其方程）.docVIP

［例1］指出抛物线的焦点坐标、准线方程. （1）x2=4y (2)x=ay2(a≠0) 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程. （2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程. 解：（1）∵p=2 ∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y=-1 (2)原抛物线方程为：y2=x ∴2p= ①当a＞0时，=，抛物线开口向右 ∴焦点坐标是（,0）,准线方程是：x=-. ②当a＜0时，=-,抛物线开口向左 ∴焦点坐标是（,0），准线方程是：x=-. 综合上述，当a≠0时，抛物线x=ay2的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-. ［例2］若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程. 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k. 解法一：设A（x1,y1)、B(x2,y2),则由 可得： k2x2-(4k+8)x+4=0 ∵直线与抛物线相交 ∴k≠0且Δ＞0 则k＞-1 ∵AB中点横坐标为 ∴ 解得:k=2或k=-1(舍去） 故所求直线方程为：y=2x-2 解法二：设A（x1,y1),B(x2,y2) 则有y12=8x1 y22=8x2 两式作差解：(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2) 即 ∵x1+x2=4 ∴y1+y2=kx1-2+kx2-2 =k(x1+x2)-4 =4k-4 ∴k= 故k=2或k=-1(舍去) 则所求直线方程为:y=2x-2 ［例3］求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切. 分析：可设抛物线方程为y2=2px(p＞0).如图所示，只须证明=|MM1|，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切. 证明：作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1.M为AB中点，作MM1⊥l于M1，则由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF| 在直角梯形BB1A1A中： |MM1|=(|AA1|+|BB1|) =（|AF|+|BF|） =|AB| ∴|MM1|=|AB|，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切. 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交. ［例4］（1）设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3，求k值. （2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标. 分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标. 解：（1）由得：4x2+(4k-4)x+k2=0 设直线与抛物线交于A（x1,y1)与B（x2,y2)两点. 则有：x1+x2=1-k，x1·x2= ∴|AB|= ∵|AB|=3 ∴=3 即k=-4 (2)∵S△=9,底边长为3 ∴三角形高h= ∵点P在x轴上 ∴设P点坐标是（x0,0） 则点P到直线y=2x-4的距离就等于h，即 ∴x0=-1或x0=5 即所求P点坐标是（-1，0）或（5，0）. ［例5］已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线. 分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一是证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA=PN且PN⊥l即可. 证明：如图所示，连结PA、PN、NB. 由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P. ∴AN也垂直平分PB. 则四边形PABN为菱形. 即有PA=PN. ∵AB⊥l. ∴PN⊥l. 则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线.