添置立几辅助线（面）的思维方法（两个平面垂直的判定和性质）.docVIP

添置立几辅助线（面）的思维方法 解立体几何题时，如何有效地添置辅助线（面）往往成为解题的关键。长久以来，人们总存在着一种神秘的心态，误认为添置辅助线（面）纯属于一种偶然的灵感，而疏忽了它的规律性。下面我以个人的教学实践，结合课本，谈谈立几辅助线（面）的添置依据选择原则的问题，与读者共商。 学生常问：“为什么你会添置这样的辅助线（面）？”这句话的含义是要回答，添置这些辅助线（面）的思维依据是什么？ 众所周知，知识是思维意识的基础，添置辅助线（面）的思维依据主要来源于课本知识。只要细心研究，容易发现，教材中隐含着很多启发思维的知识点。现归纳如下以敬读者。 1．许多定义的本身就是添置辅助线（面）的思维依据 以立几中三种角的定义为例，看看它们隐含的“玄机”，如异面直线a和b所成角的定义：空间任选一点O，分别引直线∥a， b，我们把直线与所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。定义明显告诉我们，有关异面直线所成的角的问题隐含着要添置两条辅助线。又如斜线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角。透过定义的内涵会发现，要求斜线和平面所成的角，应考虑按定义添置这条斜线的射影。再如二面角的平面角定义：二面角棱上任取一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。这个定义的启发就更为明显了。下面以例说明。 例1.二面角M－－N的平面角为，直线ABM，与棱交于A点，且交角为，。 求证：sin。 分析：（1）依据直线AB与平面N所成的角的定义，在AB上取一点B 图1 （如图1），过B点作平面N的垂线，垂足为C，连AC，则构成了AB与N所成的角∠BAC=。（2）再由平面角的定义，过B（或C点）作棱的垂线BD（或CD），垂足为D，连CD，由三垂线定理可知CD⊥，则∠BDC为二面角的平面角，即∠BDC=。辅助线添置完毕，简证如下： 在Rt△ACB， RtBDA和Rt△BCD中分别有：sin3=BC∥AB， sin2=BDAB和sin1=BC∥BD，sin3=sin1·sin2. 2.性质定理是添置辅助线（面）的重要思维依据 立几中的性质定理除了表明空间图形的性质规律外，还隐含着添置辅助线 图2 （面）的思维依据，而这些依据往往被人忽视。下面以面面垂直和面面平行的性质定理为例阐述。 例2.若平面M，N，K中，M⊥N，M⊥K，且N∩K=，那么直线⊥M. 分析A：由M⊥N条件，联想面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.可在平面N（或M）内作棱AO的垂线b(如图2)，则b⊥M。同理在K在作棱OB的垂线 c，c⊥M，b∥c b∥a ⊥M. 若在平面M内取点D，过D分别作棱AO与BO的垂线、（如图3），则由面面垂直的性质定理可知，⊥N，N ⊥，同理⊥，则⊥M.上面两种作辅助线的方法虽然不同，但思维的依据却完全一样——面面垂直的性质定理。 图3 图4 分析B：面面垂直还有一个准性质定理：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。由此出发，在棱上取一点E，过点E作平面M的垂线d（如图4）.由M⊥N d N，d K，则d与重合，所以⊥M。 例3 已知平面M，N，M∥N，直线L⊥M，求证：直线L⊥N。 分析：由已知平面M∥N，联想其性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.不妨试作一个平面K与M、N相交， 设交线为a、b（如图5），则b∥a，?L⊥M L⊥a L⊥b .因为平面K为任意 的，所以b面N的任意直线，则L⊥N。 3．以满足判定条件的需求为依据添置辅助线（面） 图5 立几中的任何一个命题的判定都必须满足一定的条件，若能抓住需求的条件作为线索，定出解题的大方向，再根据已知条件进行分析和筛选，则一定能够捕捉住添置辅助线（面）的有效时机.下面以面面垂直的判定定理为例说明之. 例4.设有平面M与N，直线∥N，⊥M. 求证：平面M⊥N。 分析：题目要判断M⊥N，根据面面垂直的判定条件，需要在其中一个平 面内找出（或添置）一条垂直于另一个平面的垂线，这是大方向。但在哪个平 面内找（或添置），则要根据已知条件经过分析比较才能确定。本例中有两个 已知条件，联想它们各自的性质，应依∥N这个已知条件为依据，利用它的 性质定理，过作一个平面K与N相交，设交线为b，a∥b（如图6）. 图6 由⊥M b⊥M M⊥N。 、、