同步练习（直线和平面垂直的判定和性质）.docVIP

相关练习 例1.在空间四边形PABC中，PA⊥平面BAC，AC⊥BC，若A在PB、PC上的射影分别是E、F，求证：EF⊥PB. 证明：∵PA⊥平面ABC ∴PA⊥BC 又∵AC⊥BC，PA∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC，而AF面PAC. ∴BC⊥AF 又∵F是点A在PC的射影. ∴AF⊥PC， ∴AE在平面PBC的射影为EF. 又∵E为A在PB的射影.∴AE⊥PB 由三垂线逆定理知EF⊥PB. 例2．空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD. 证明：如图，作AO⊥平面BCD于O，则BO为AB在平面BCD内的射影. ∵AB⊥CD ∴BO⊥CD 同理DO⊥BD，所以O为△BCD的垂心，连结CO，∴CO⊥BD ∵CO为AC在平面BCD内的射影，AC⊥BD. 例3.如图，在△ABC中，B=90°，SA⊥平面ABC，AN⊥SB，AM⊥SC.求证：SC⊥平面AMN. 证明：∵SA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴SA⊥BC 又∵BC⊥AB，AB、SA. 又∵AN平面SAB，∴BC⊥AN. ∵AN⊥SB，SB、BC确定平面SBC ∴AN⊥平面SBC. 又SC 平面SBC，∴AN⊥SC. 又∵AM⊥SC，AM、AN确定平面AMN，∴SC⊥平面AMN. 例4.如图，H是锐角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，若∠BPC=90°，求证： ∠BPA=90°，∠APC=90°. 证明：连结BH并延长交AC于点E. ∵H是△ABC的垂心，. 又∵PH⊥面ABC 由三垂线定理知PB⊥AC 又PB⊥PC，PC∩AC=C，PB⊥平面APC 又∵PA平面APC，∴PB⊥PA 即 ∠BPA=90°. 同理 ∠APC=90°.