椭圆比值定义（第二定义）的应用（椭圆的简单几何性质）.docVIP

［例7］椭圆的方程为上有一点P，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P到它的右焦点的距离. 解：∵a2=100,b2=6 ∴c= ∴e== 依椭圆第二定义，设P点到椭圆左焦点的距离为x，则 ∴x=6 ∴点P到椭圆右焦点距离为2×10-6=14 评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在教学中的重要训练对象. ［例8］已知定点A（-2，），点F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求|MA|+2|FM|的最小值，并求出此时点M的坐标. 分析：设M（x,y），则有 由①可将y用x表示出来，将其代入①，则式子|MA|+2|FM|可转化成一个关于x的一元函数，再求其最小值. 以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法. 解：∵a=4,b=2,c=2 ∴e= 右焦点F（2，0），右准线方程l:x=8 设点M到右准线l的距离为d， 则 得2|MF|=d ∴|MA|+2|MF|=|MA|+d 由于点A在椭圆内，过A作AK⊥l，K为垂足，易证|AK|为|MA|+d的最小值，其值为8+2=10 ∵M点的纵坐标为，得横坐标为2 ∴|MA|+|2MF|的最小值为10，点M的坐标为（2，） 评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了. （2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义. ［例9］设P（x0,y0）是离心率为e的椭圆，方程为上的一点，P到左焦点F1和右焦点F2的距离分别为r1和r2. 求证：r1=a+ex0, r2=a-ex0 证明：由椭圆第二定义，得 ∴|PF1|=e=e ∴|PF1|=a+ex0 又 ∴|PF2|=e=e ∴|PF2|=a-ex0 注意：|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0，称为(x0,y0)点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意. ［例10］已知椭圆，过左焦点F作倾斜角为30°的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长. 解法一：∵a=3,b=1,c=2 ∴F(-2,0) ∴直线方程为y= 与联立消元，得 4x2+12x+15=0 ① 设A（x1,y1）,B(x2,y2)则依韦达定理，得 x1+x2=-3,x1x2= ∴|AB|= ∴|AB|=2 解法二：由于所求线段AB是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算： |AB|=|AF|+|BF|=2a+e(x1+x2)=2 评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理. 四、参考练习题 1.椭圆的一个顶点和一个焦点在直线x+3y-6=0上，则此椭圆标准方程是 （ ） A. B. C.或 D.或 答案：D 2.椭圆上点P到右准线的距离等于4.5，则点P到左准线距离是 （ ） A.8 B.12.5 C.4.5 D.2.25 答案：A ① ②