椭圆中点弦的斜率公式及应用（椭圆的简单几何性质）.docVIP

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2017-08-25 发布于河南
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椭圆中点弦的斜率公式及应用山东高密市第三中学　任志勇　单秀丽二次曲线的中点弦有许多有趣的性质，下面介绍椭圆中点弦的斜率公式，利用它可起到事半功倍的效果．定理　设有二次曲线的方程为Ａ、Ｂ两点在曲线上，Ｍ是弦ＡＢ的中点，Ｏ为坐标原点，则．证明　设Ａ、Ｂ两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)，则点Ｍ的坐标为（）． ∵Ａ、Ｂ两点在曲线上， ∴ 两式相减得：整理得，又，．证毕．注　特别地，当＞０时，二次曲线为圆，显然ＯＭ⊥ＡＢ，有．例１　过椭圆内一点Ｄ（１，０）引动弦ＡＢ，求弦ＡＢ的中点Ｍ的轨迹方程．解　设动点Ｍ的坐标为（x,y），则由定理得整理得这就是点Ｍ的轨迹方程．例２　设椭圆与直线相交于Ａ、Ｂ两点，且，又ＡＢ的中点Ｍ与原点Ｏ的连线的斜率为，求a、b的值．解　由定理得（－１）·＝－　　　　（１）将代入椭圆方程整理得：设Ａ、Ｂ两点横坐标分别为x1、x2,则 ∴，∴ 即　　　　　　　　　（２）由（１）、（２）解得 —1—