同步练习（两个平面垂直的判定和性质）.docVIP

相关练习 例1.已知△ABC中，O为AC中点，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC. 求证：平面PAC⊥平面ABC 证明：∵AO=OC， PA=PC ∴PO⊥AC ∵∠ABC=90° ∴OB=OA 又PB=PA，PO=PO ∴△POB≌△POA. ∴PO⊥OB ∴PO⊥平面ABC， ∴平面PAC⊥平面ABC. 例2.直角三角形ABC的斜边AB在平面所成角分别为30°和45°，求△ABC所在平面与所成的锐二面角. 解：作C⊥，为垂足， D⊥AB于D，连结CD， ∴CD⊥AB， ∴∠CD是所求二面角的平面角. 由C⊥可知， ∠CA=30°，∠CB=45° 设C=h，在Rt△CA和Rt△CB中， AC=2h，BC= 又∵AC⊥BC ∴AB= CD= ∴sinCD=，为锐角. ∴∠CD=60° ∴△ABC所在平面与所成二面角为60°. 例3.如图，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，K为线段SC上的一点（K不是）端点，Bk⊥SC于K，求证：平面SBC与平面SDC不垂直. 证明：假设平面SBC⊥平面SDC， ∵BK⊥SC， BK⊥平面SDC， ∵DC平面SDC. ∴BK⊥DC. ∵AB∥CD，BK⊥AB. ∵ABCD是正方形，AB⊥BC ∴AB⊥平面SBC，SB平面SBC， ∴AB⊥SB， . ∴平面SBC与平面SDC不垂直. 例4.将两个等腰△ABC和△BCD沿公共底BC折成60°的二面角，BC=16，△ABC两腰长为17，△BCD两腰互相垂直，求两个三角形顶点间的距离. 解：如图，取BC中点E，连结AE、DE. ∵AB=AC， ∴AE⊥BC， 又∵BD=CD ∴DE⊥BC，∴∠AED为二面角A-BC-D的平面角. ∴∠AED=60°. 又∵在Rt△ABE中 AE= 在等腰Rt△BDC中，ED==8. 由余弦定理得： AD==13. 例5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，a， BD=，. 解：取BD的中点为O，分别连AO、CO. ∵AB=AD， BC=CD. AO⊥BD，COBD. ∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角. ∵AB=AD=a， BD= ∴OC= ∴在△AOC中，OC=，OA=，AC=a， OA2+OC2=AC2 AOC=90°. 即二面角A-BD-C为直二面角.