椭圆的一些有趣性质及其应用（椭圆的简单几何性质）.docVIP

椭圆的一些有趣性质及其应用 □ 山西临汾三中 李峰泰 教材中只介绍了椭圆的一些基本性质．在实际中，椭圆还有一些有趣的性质．探讨这些性质，不仅可以丰富解题思路，而且还可以培养我们的创新意识，在学习过程中会有所发现．本文介绍几个性质以示抛砖引玉． 一、椭圆上点对两焦点张直角的性质 Ｐ是椭圆上的一点，Ｆ１、Ｆ２是左、右焦点，Ｏ是椭圆中心，e是离心率，ＯＰ的倾斜角为α，则∠Ｆ１ＰＦ２＝ ９０°的充要条件是． 证明　如图，在△Ｆ１ＰＦ２中，∠Ｆ１ＰＦ２为直角的充要条件是（平面几何定理） ∵ 设Ｐ点坐标为（x,y），则，代入椭圆方程得： ∴整理得 即 ∴． 例１　Ｐ是椭圆上的一点，Ｆ１、Ｆ２为两焦点，若∠Ｆ１ＰＦ２＝９０°，试求 △ＰＦ１Ｆ２的面积． 解　设ＯＰ的倾斜角为α，又知，代入可得． ∴ 二、椭圆准线上点对长轴顶点视角的性质 椭圆准线上的点对其长轴两顶点的视角为α，若椭圆的离心率为e，则α是锐角且≤e． 证明　如图，设Ｐ在x轴上方，坐标为 ∵为锐角． 整理为y的方程 ∵此方程有实根，∴ ∴ ∵α为锐角，∴． 例２　Ｐ是椭圆右准线上的一点，点Ｐ对此椭圆左右两顶点Ａ１、Ａ２的视角为α，求α的最大值． 解　∵ 由题设及性质得 又知α为锐角，∴α的最大值为． 三、椭圆中心点张直角的性质 若椭圆上有两点Ａ、Ｂ，且ＯＡ⊥ＯＢ，则原点到弦ＡＢ的距离． 证明　如图，设∠ＢＯＸ＝α，则∠ＡＯＸ＝＋α，设ＯＢ＝m＞0,OA=n＞0,A，Ｂ点为（），代入椭圆方程整理得 由等面积法得 例３　直线与椭圆交于Ａ、Ｂ两点，当k为何值时，以ＡＢ为直径的圆通过坐标原点． 解　a＝２，，∵ＡＢ为直径的圆过原点，∴ＯＡ⊥ＯＢ，由性质及原点到直线距离公式得 ,解之得． —2—