关于不定方程x^3＋27=19y^2.pdfVIP

维普资讯 2007年 lO月 重庆师范大学学报 (自然科学版) 0ct。2007 第24卷 第4期 JournalofChongqingNormalUniversity(NaturalScienceEdition) Vo1．24 No．4 关于不定方程 3+27 19y2 李 双 娥 (重庆师范大学 数学与计算机科学学院，重庆 400047) 摘 要 ：不定方程 4-27= (D0)的研究曾引起 了一些学者的兴趣，曹玉书确立了当D不含 6 +1形状的素数 奇次幂因子时的全部整数解，而当含有6 +1形状的素数因子时，方程的求解比较困难。本文利用递归数列、同余式 和平方剩余的方法，讨论了不定方程 +27=19y2在3I及 3十 情况下的整数解。其中3十X对又分 了情形 I +3 = 19u： 一 ， 3x+9= ，v=“；情形II +3=“， 一3x+9=19 ，Y=“这两种情况。最后得到不定方程 +27： 19y 仅有整数解 (，Y)=(一3，O)，(24，±9)，(一2，±1)的结论。 关键词：不定方程；整数解；递归数列；平方剩余 中图分类号：0156．1 文献标识码：A 文章编号：1672—6693(2007)04—0030—03 关于不定方程 ±27=Dy(D0)的研究曾 一 27，解得 =一5，8，0，3均不满足 (2)式的第一 引起一些学者的兴趣 ¨。]，当D无6 +1形状的素数 式，故该情形无 (1)式的解。 奇次幂因子时，其全部解已由曹玉书 得到；但当 将(3)式中的第二式化为(2x一3) 一19(2) 有6Ji}+1形状的素因数时，方程的求解较为困难。笔 = 一 27，易知方程 一19／=一27的全部整数解 者证明了 一27=7y仅有平凡解 ]。利用递归数 由以下4个非结合类： 列、同余式和平方剩余证明了不定方程 +27= +Y，。,／N =±(7+2,／19)(M + ,／19)= 19y仅有整数解(，Y)=(一3，0)，(24，±9)，(一2， ±(7+2 19)(170+39,／19)，n∈Z (4) 土1)。 + ,／N =±(一7+2,／19)(M + ,／19)= 引理[ 不定方程 +1=57y仅有整数解 ±(一7+2,／N )(170+39,／19)，n ∈Z (5) (，y)= (一1，0)，(8，±3)。 定理 不定方程 +Y ,／19=±(12+3,／19)(M + 19)= +27=19y (1) ±(12+3 19)(170+39,／19)，n∈Z (6) 仅有整数解 (，Y)= (一3，0)，(24，±9)，(一2， + ,／N =±(一12+3,／N)(M + 19)= ±1)。 ±(一12+3,／N)(170+39,／19)，n∈Z (7) 证明 当3I 时，易知9IY，设 =3x．，Y= 其中 ±(M+ ,／N)=±(170+39,／N)给出Pell 9y。，则(1)式化为 +1=57y，由引理可知 (。，