2015届高考数学一轮名校内部优题自主测验19.docVIP

2015届高考数学一轮名校内部优题自主测验19 一．单项选择题。（本部分共5道选择题） 1．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 解析 由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP. 答案 A 2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )． A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 解析 根据给出的定义得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，故这个不等式的解集是 (－2,1)． 答案 B 3．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )． A. B．1－ C. D．1－ 解析 如图，要使图中点到O的距离大于1， 则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝2＝1－. 答案 B 4.已知幂函数的图象经过点(2,4),则的解析式为( ) A. B. C. D. 答案 B 5．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A. B．3 C. D. 解析 依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝. 答案 A 二．填空题。（本部分共2道填空题） 1．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________. 解析 由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1， 所以数列{an}的通项公式an＝4n－1. 答案 4n－1 2．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α＝________. 解析：原式＝cos α＋sin α ＝cos α＋sin α ＝cos α＋sin α＝0. 答案：0 三．解答题。（本部分共1道解答题） 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率． 解析 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)． ∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2. 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1. (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB， 则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)， ∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y＝4x1，① y＝4x2，② ∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)． ∴y1＋y2＝－4. 由①－②得，y－y＝4(x1－x2)， ∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)． 1