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维普资讯 第20卷第4期 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Vo1．20．No．4 2004年 12月 JournalofQiqiharUniversity Dee．，2004 关于等差数阵的进一步研究 于佳宾 (齐齐哈尔大学理学院．齐齐哈尔 161006) 摘 要：对近年我国数阵研究的进展加以阐述，并对等差数阵的转置矩阵和乘积矩阵的性质进行了深入研究，得 到了几个新结果 。 关 键 词：等差数阵；n维等差数阵；通项公式。 中国分类号：0151．21 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2004)04—0091—04 “数阵”是我国 80年代末提出来的一个新的数学研究课题。作为数列概念的一种 自然拓广，多元函 数的离散对应物和各种数表的概括 ，我~fHl进 “数阵”的概念。 设 下标数口…．∈C(jt=l，2，3，…，k=l，2，…，J，那么每个口．_．对『应于 维欧氏空间R中的 点(j。…f)，如果把口．．。就排在它所对应的点处，就形成—个阵 }称之为 维数阵，口．叫做数阵的 通项，如果通项可以表示为一个 元解析式：a…=F(i。…f)该解析式就叫做数阵的通项公式。 对于数阵的研究已有一些较深的结果，本文着重对等差数阵进行研究，得到一些富有启发性的新结果。 1 等差数阵 1．1 二维等差数阵 每行、每列都成等差数列的数阵D={口}叫做等差数阵，D中各行、各列的公差分别称为D的行公差 和列公差。 性质 1ll】行 、列的公差构成的数列 {d，和 {为公差相同的等差数列，记这相同的公差为d(称为数 阵D的公差)，则通项公式为a =aII+(i一1)PI+(一1)I+(i—D(j—1)。 性质 2伫’前mn项和 ：，竹，2口I I+下mn(m-1)P mn(m-1)(n-1)d I+ ． 1．2 刀维等差数阵 定义1设／。，…，)是定义在N。×N ×…×N上的一个函数，则称其值域厂(Ⅳ。×N ×…×Ⅳ)是 一 个刀维数阵，简记为 。，…，Xn))。 定义2 设 。，，…，))是一个 维数阵，如果对任意的f(=『l，2，…，)和任意固定的刀-1个数 。，… ， ．．， +．，… ， 定义在ⅣI上的数列V(x一，，…，))==：r=1是等差数列，称 ，，…，))是 维等 差数阵。 2 等差数阵的运算 2．1 等差数阵的转置阵、乘积阵的性质 收稿 日期：2O04一—O6—2l 作者简介：于佳宾，男．1978年生 ．大学本科．助教，现主要从事代数方向研究。 维普资讯 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 2004年 为方便起见，本文中所说的等差数阵均指二维等差数阵，并采用矩阵的符号，用A，B，C，…表示等 差数阵，用 )表示数阵中所有元素的和，所说的等差数阵的运算也是指相应的矩阵(数阵)的运算。 设 = = 均为等差数阵，且它们的行公差分别为 和 (f=1，2，3，…，)，列公差 分别为 和 =1，2，3，…，)，A和B的公差分别为 。和d，则有 定理 1 等差数阵 的转置阵 也是等差数阵。 证明 显然。 定理2等差数阵c=AB=C( ，且c的行公差为，砉 f(=1，2，3，…，)，Y=砉g (．，=1，2，3，…，，1)，则c的公差为，：妻g 。 证明 因为c砉 ，c{，+l=言6-，c+z=砉 + 所以c+．一C=砉^=I口聃6(。一)=砉=I口，Co+一C+．=砉：I口6(+一+。)=塞=l口，ePc+一c+．： C +I—C 。 故c中第 亍元素成等差数列，且公