复射影空间CP^n中全实极小子流形的一点注记.pdfVIP

第 33卷 5期 安 徽 师 范 大 学 学 报 (自然科学版) V0I．33No．5 2010年 9月 JournalofAnhuiNomM University(NaturalScience) Sept．2010 复射影空间 CP 中全实极小子流形的一点注记 徐 茂， 宋卫东 (安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000) 摘 要：研究了复射影空间CP 的全实极小子流形，得 出一个关于第二基本形式模长平方的 Pinching定理，改进 了ChenB．Y．等人的相应结果． 关键词 ：复射影空间；全实极小子流形；全测地 中图分类号：O186 文献标识码 ：A 文章编号 ：1001—2443(2010)05～0421—04 1 相关知识 设 CP 是具有Fubini—Study度量的 (≥2)维复射影空间，其常全纯裁面曲率为 ， 是CP的全实极 小子流形，即Mz上每点的切空间被CP”的复结构映射到其法空间． 文献[1][2][3]分别证明了 定理A 设M”是复射影空间CP”()中 维紧致全实极小子流形，如果M”的第二基本形式模长平方 ．IB-I2 ，那么 M”全测地． 定理B 设M”是复射影空间CP”()中 维紧致全实极小子流形，如果M 的第二基本形式模长方平 IIBll÷(+)，那么 全测地． 定理C 设 是复射影空间CP”(其常全纯裁面曲率为4)中n维紧致全实极小子流形，如果M 的第 二基本形式模长平方 lIBIl (”+1)，则M”全测地． 本文利用有关不等式重新估计，得到下面结果． 定理D 设 是复射影空间CP”()中 维紧致全实极小子流形，如果 的第二基本形式模长平方 liBlI ( +1)，那么M”全测地． 注：此定理中，当 =4时，}lBlI鲁(+1)，显然改进了[1][2][3]结果． 2 准备工作 设 M 是CP”(C)中实 维全实子流形，为CP”的复结构．在 CP上选取局部规范正交标架场 1，… ，e，2，el = Je1，… ，e = Jez， 使得当限制于 ，{e 一， }与 M 相切 ，约定各类指标的取值范围 A ，B ，C ，… ，= 1，… ，”，1 ，… ， ； i，J，k… = 1，… ，72；a， ，y，… ： 1 ，…，，z ． 以{OaA}表示 {A}的对偶标架场 ，则CP 的结构方程为 dooA OOAB八ooB，COAB十OOBA=0 (1) 收稿 日期 ：2009—11一O6 基金项 目：安徽省教育厅 自然科学研究重点项 目( 2008A05ZC)． 作者简介：徐茂 (1974一)，男，安徽蚌埠人，硕士研究生；宋卫东 (1958一)，男，安徽桐城人，教授 ，从事子流形几何理论的研究 422 安 徽 师 范 大 学 学 报 (自然 科 学 版 ) 2010芷 dcoAU=∑ccA叫∞一吉—CR cA。 (2) ． D 其中 m 02,i j OJi j (t)j*i， KAUCD ( ( 一 +JACJBV—JADI~ +2，A‘B，CD) (3) 这里( )为线性变换 J关于 {eA}的变换矩阵，即 JAB= }～”] ㈤ 其中J为 阶单位矩阵． 将上述形式限制在