精品解析：广东省广州市铁一中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题（解析版）.docxVIP

广州市铁一中学2025-2026学年上学期期中考

高三数学

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则的真子集的个数为（）

A.3 B.4 C.7 D.8

【答案】A

【解析】

【分析】由确定，再结合交集与真子集的概念即可求解.

【详解】由，得解得，

所以，又，

故，

即有2个元素，故的真子集个数为.

故选：A.

2.某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求得圆锥的母线长，再根据圆锥的表面积公式求得正确答案.

【详解】依题意得该圆锥的母线长为，

则该圆锥的表面积为.

故选：D

3.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用两角差的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化

【详解】因为，解得，

所以

.

故选：C

4.已知等差数列的前项和分别为，且，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用等差数列前项和公式求解即可得.

【详解】由题设，条件可化为，

设，，

则，

，

则.

故选：A.

5.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（）

A.72 B.84 C.96 D.108

【答案】B

【解析】

【分析】利用先选后排的方法进行解题即可.

【详解】选个空盒：种，

分配个小球到个非空盒

情况一（分法）：种

情况二（分法）：种

总分配方法;种，

总放法数：种

故选：

6.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（）

A.9 B.4 C.3 D.

【答案】C

【解析】

【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得.

【详解】由点是的重心，，，

故，

由、、三点共线，故，

则，

当且仅当，即，时，等号成立.

故选：C.

7.已知双曲线（，）的两个焦点为，，，是的右支上两点.若，∥，且，则的离心率为（）

A. B.2 C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，根据双曲线定义可得，根据题意可得，，结合余弦定理可得，即可得结果.

【详解】设，

由双曲线定义可得，

因为，则，

又因为∥，则，即.

由余弦定理可得，

整理可得，

即，整理可得，

则，，，

即，则，所以双曲线的离心率为.

故选：C

8.在中，角为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角恒等变换、正弦定理等知识判断出三角形是直角三角形，利用基本不等式求得周长的最小值.

【详解】依题意，，

由得，

即，

，

由于是锐角，所以，

与一正一负，或，

若，即，

由于，

所以，所以，

，此不等式组无解，所以不成立

同理可得不成立.

所以，

所以，所以，.

所以，

所以三角形的周长，

当且仅当时等号成立，所以三角形的周长的最小值为.

故选：A

【点睛】本题涉及几何中的面积和周长问题，结合了三角函数和基本不等式，考查了学生的综合解题能力．解题过程中，利用基本不等式求周长的最小值，这是本题的关键点之一．基本不等式的应用不仅要找到正确的表达式，还需要验证等号成立的条件，以确保最小值能够实际取到．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（）

A.若则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据复数的性质、复数的模、复数与复平面内向量的关系等知识点，对每一个选项逐一进行分析即可.

【详解】对于选项，如，此时，但，，，故A错．

对于选项，，，，，，故B对．

对于选项，设，，则，，又，即，即，化简可得，

则，在复平面内，，，则，故C对．

对于选项，设，，此时但，故D错．

故选：.

10.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（）

A.若，则直线的斜率为 B.

C.(为坐标原点) D.当取最小值时，

【答案】ABD

【解析】

【分析】设出直线，，，根据题意求出和的坐标，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D.

【详解】

依题意，设直线，，，

联立得，则，，

则，解得或，则，或