专题13 抽象函数性质全归纳（压轴题7大类型专项训练）数学人教A版2019必修一（解析版）.docxVIP

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专题14抽象函数性质全归纳

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TOC\o1-2\h\u典例详解 3

类型一、抽象函数的定义域 3

类型二、抽象函数求值 5

类型三、抽象函数的值域 7

类型四、抽象函数的解析式（简单应用） 9

类型五、抽象函数的单调性 12

类型六、抽象函数的奇偶性 16

类型七、抽象函数的对称性 22

压轴专练 26

【注意：掌握模型可以快速解题】

1、常见的抽象函数模型

【反比例函数模型】

反比例函数：，则，

【一次函数模型】

模型1：若，则；

模型2：若，则为奇函数；

模型3：若则；

模型4：若则；

【指数函数模型】（供提前了解）

模型1：若，则；

模型2：若，则；

模型3：若，则；

模型4：若，则；

【对数函数模型】（供提前了解）

模型1：若，则

模型2：若，则

模型3：若，则

模型4：若，则

模型5：若，则

【幂函数模型】（供提前了解）

模型1：若，则

模型2：若，则

代入则可化简为幂函数；

【正弦函数模型】（供提前了解）

对于正弦函数?，与其对应的抽象函数为

注：?此抽象函数对应于正弦平方差公式：

【余弦函数模型】（供提前了解）

对于余弦型函数?，涉及2种余弦的和差化积公式

1、公式一：

其抽象函数模型是：

2、公式二：

其抽象函数模型是：

3、若，则

【正切函数模型】（供提前了解）

模型：若，则

2、其他技巧

（1）观察不等式两端的特点，化为同类函数；

（2）借助函数的单调性，脱掉“”；

（3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.

类型一、抽象函数的定义域

抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.

1．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可；

【详解】由题意：要使有意义，则

解得，所以的定义域为．

故选：C

2．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知的定义域为，则的定义域为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】应用抽象函数定义域求解即可.

【详解】函数的定义域为，在中，由，得，

所以的定义域为.

故选：A

3．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解.

【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足：

，解得或，

故定义域为：

故选：D

4．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求．

【详解】在中，，∴，

∴的定义域是，

故在中，解得，

∴的定义域是.

故选：A.

类型二、抽象函数求值

一般采用赋值法，，x,-x是常见的赋值手段

1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）若对任意恒成立，且，则（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】赋值可解.

【详解】由对任意恒成立，

令，得，

解得.

故选：B.

2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数满足，且，则的值为（???）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】利用赋值法，分别令和令，列方程求得，再令，可得，最后令，可得.

【详解】由题意取令，可得，

令，可得，

所以，令，可得，

所以，令，可得，所以.

故选：A.

3．已知函数的定义域为，且，，则的值是（????）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】D

【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解．

【详解】中令，则，

中令，，则，

又中令，则，所以，

中，令，则，

再令，，则．

故选：D

4．已知函数的定义域为，且，则（????）

A．0 B．1 C．2024 D．2025

【答案】D

【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得.

【详解】令可得，所以，

再令可得，

即①，

将上式中的全部换成可得②，

联立①②可得,

所以，

故选：D

5．（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，都有，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】采用“赋值法”探索