专题12 函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用（压轴题10大类型专项训练）数学人教A版2019必修一（解析版）.docxVIP

PAGE1/NUMPAGES10

专题12函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用

目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）

TOC\o1-2\h\u典例详解 1

类型一、定义法证明函数的单调性 1

类型二、利用单调性比较大小 5

类型三、利用单调性解不等式 7

类型四、利用函数的单调性求参数 10

类型五、函数奇偶性的判断（含函数图像的判断） 14

类型六、利用函数的奇偶性求参数和解析式 18

类型七、奇偶性结合单调性比较大小 20

类型八、奇偶性结合单调性解不等式 24

类型九、伪奇函数求最值问题 26

类型十、函数的对称性及其应用 27

压轴专练 32

类型一、定义法证明函数的单调性

1、定义法证明函数单调性的步骤

①取值：设，为该区间内任意的两个值，且；

②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；

③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；

④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性．

2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧

（1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解；

（2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解；

（3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方；

（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化．

3、若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

（1）与（C为常数）具有相同的单调性.

（2）与的单调性相反.

（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.

（4）若≥0，则与具有相同的单调性.

（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；

当时，与具有相同的单调性.

（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:

简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.

一、多选题

1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据函数单调性及，得到，进而判断出ABC正确，D错误.

【详解】AB选项，在是减函数，且，故，

，AB正确；

CD选项，因为，，所以，

，C正确，D错误.

故选：ABC

2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在下列区间上单调递增的是（????）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据函数单调性定义计算化简出单调区间，应用特殊值法得出B,C选项不单调递增.

【详解】的定义域为．

设，则，

当时，，

所以，所以在单调递增，

则函数在区间和上单调递增，A，D正确；

当或时，

，则

和上不单调递增，B，C错误．

故选：AD.

二、解答题

3．利用定义法证明：函数在上是减函数.

【答案】证明见解析

【分析】根据单调性的定义证明即可.

【详解】证明：设

则，

，

，，，

，即，

所以函数在上是减函数.

4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明.

【答案】函数在上单调递减，证明见解析

【分析】函数在上单调递减，利用单调性的定义证明即可.

【详解】函数在上单调递减.

证明如下：任取，且，

则

.

因为，

所以，，，

所以，即.

所以函数在上是单调递减函数.

5．（24-25高一上·全国·课前预习）用定义法证明：函数在上是增函数.

【答案】证明见解析

【分析】根据函数单调性定义证明即可.

【详解】证明：设是上的任意两个实数，且，所以，

则

，.

，即，

函数在上是增函数.

类型二、利用单调性比较大小

利用单调性解不等式的相关结论

（1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，．

（2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，．

当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论．

一、单选题

1．（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（????）

A． B．

C． D．以上都可能

【答案】C

【分析】由减函数的性质求解即可；

【详解】因为在上是减函数，

所以，若，则，

故选：C.

2．，则有（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的单调性，判断选项即可．

【详解】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，

可得函数是定义域在上的增函数，

所以（1）（3）．

故选：．

3．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出