专题12 函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用（压轴题10大类型专项训练）数学人教A版2019必修一（原卷版）.docxVIP

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专题12函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用

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TOC\o1-2\h\u典例详解 1

类型一、定义法证明函数的单调性 1

类型二、利用单调性比较大小 3

类型三、利用单调性解不等式 4

类型四、利用函数的单调性求参数 5

类型五、函数奇偶性的判断（含函数图像的判断） 6

类型六、利用函数的奇偶性求参数和解析式 7

类型七、奇偶性结合单调性比较大小 8

类型八、奇偶性结合单调性解不等式 10

类型九、伪奇函数求最值问题 10

类型十、函数的对称性及其应用 11

压轴专练 13

类型一、定义法证明函数的单调性

1、定义法证明函数单调性的步骤

①取值：设，为该区间内任意的两个值，且；

②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；

③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；

④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性．

2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧

（1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解；

（2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解；

（3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方；

（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化．

3、若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

（1）与（C为常数）具有相同的单调性.

（2）与的单调性相反.

（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.

（4）若≥0，则与具有相同的单调性.

（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；

当时，与具有相同的单调性.

（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:

简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.

一、多选题

1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（????）

A． B．

C． D．

2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在下列区间上单调递增的是（????）

A． B． C． D．

二、解答题

3．利用定义法证明：函数在上是减函数.

4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明.

5．（24-25高一上·全国·课前预习）用定义法证明：函数在上是增函数.

类型二、利用单调性比较大小

利用单调性解不等式的相关结论

（1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，．

（2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，．

当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论．

一、单选题

1．（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（????）

A． B．

C． D．以上都可能

2．，则有（????）

A． B．

C． D．

3．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（????）

A． B．

C． D．

4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（????）．

A． B．

C． D．

5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

类型三、利用单调性解不等式

一、单选题

1．（24-25高一上·黑龙江黑河·月考）若函数在R上单调递减，且，则实数的取值范围是（???）

A． B． C． D．

2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（????）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是定义在上的函数，，当时，，则不等式的解集为

4．（2025高一·全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是．

5．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，若，则实数的取值范围.

类型四、利用函数的单调性求参数

利用函数的单调性求参数的取值范围

首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小．

若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值．

一、单选题

1．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）“”是函数在上是增函数的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（???）

A． B． C． D．

3．（2