2026高一数学同步5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值（导学案）（解析版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.4.2第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值

导学案

1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化规律,通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质,达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.

2.能够利用单调性解决一些问题,比如比较大小,求最值等,达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.

教学重点：

1.通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；

2.对周期函数概念的理解和运用.

教学难点：

应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.

2.探究函数y=Asin

温故知新

知识点正弦函数、余弦函数的性质

y＝sinx

y＝cosx

相同处

定义域

eq\x(\s\up1(01))R

eq\x(\s\up1(02))R

值域

eq\x(\s\up1(03))[－1，1]

eq\x(\s\up1(04))[－1，1]

周期性

eq\x(\s\up1(05))最小正周期2π

eq\x(\s\up1(06))最小正周期2π

不同处

图象

奇偶性

eq\x(\s\up1(07))奇函数

eq\x(\s\up1(08))偶函数

单调性

在eq\x(\s\up1(09))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上单调递增；

在eq\x(\s\up1(10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上单调递减

在eq\x(\s\up1(11))[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；

在eq\x(\s\up1(12))[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减

最值

x＝eq\x(\s\up1(13))2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，ymax＝1；

x＝eq\x(\s\up1(14))2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)时，ymin＝－1

x＝eq\x(\s\up1(15))2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；

x＝eq\x(\s\up1(16))2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1

[点拨]对单调区间的理解

(1)k取Z内的每一个值，都对应着一个单调递增区间及单调递减区间，这些区间是断开的．

(2)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数．

(3)正弦函数或余弦函数取最值时，对应着图象的最高点或最低点．

导入1：音乐中的“周期律”

教师播放两段音频：

①纯音（正弦波）；②和弦（复合波）。提问：

“为何音高由频率决定？若频率加倍（周期减半），音高如何变化？这与sinx的单调性有何关联？”

【设计意图】

用听觉刺激唤醒周期概念，暗示“单调性=音高变化趋势”。

为后续“ω影响单调区间”埋下伏笔。

导入2：导航软件的“路径规划”

展示导航界面：汽车从A到B的路径为一段“余弦曲线”地形。提问：

“司机何时在‘上坡’（单调增）？何时‘海拔’最高（最大值）？如何用数学描述？’’

【教学建议】

让学生用手势模拟“爬坡”动作，直观理解“增区间=海拔上升”。

追问：“若路径改为y=-cosx，上坡区间会变吗？”（引出系数符号影响）

同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题．

一、正弦函数、余弦函数的单调性与最值

自然界存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理中的单摆运动,弹簧振动和圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知,角α的终边每转一周又会与原来的终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量描述这种变化规律,需引入一个新的数学概念一一函数周期性.

研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

探究：

类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质?

根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．

探究点1：单调性的“周期延拓”

1．周期性

观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值