河南省新乡市河南师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）.docxVIP

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河南省新乡市河南师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．若圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则（???）

A．2 B． C．4 D．

3．已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（????）

A． B． C． D．

4．一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（???）

A．31 B．30 C．29 D．28

5．用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（????）

A． B． C． D．

6．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（???）（参考数据：）

A．1 B．2 C．0 D．3

7．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（）

A． B． C．2 D．

8．如图，1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上，且纬度差约为的柏林（点）与好望角（点）为基点，测量出，的大小.设地球半径为，则地球表面与月球表面的最小距离约为（????）

??

A．

B．

C．

D．

二、多选题

9．已知随机变量X的分布列如下表：

X

1

2

3

4

5

其中成等比数列，则下列结论正确的是（????）

A．成等差数列 B．

C． D．

10．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象.则称为“旋转函数”.那么（????）

A．存在旋转函数

B．旋转函数一定是旋转函数

C．若为旋转函数，则

D．若为旋转函数.则

11．记函数的导函数为，的导函数为，且，，定义域均为，若为偶函数，为奇函数，，且对任意的，，均有，则（????）

A．为周期函数 B．

C． D．在区间上单调递减

三、填空题

12．已知四面体的各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的外接球的表面积为.

13．在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为.

14．已知是函数在其定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的取值范围是．

四、解答题

15．某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）.

车型

低收入群体（20万/年）

中收入群体（20万/年—50万/年）

高收入群体（50万/年）

愿意

不愿意

愿意

不愿意

愿意

不愿意

EV

70

30

70

50

40

40

PHEV

20

80

60

60

60

20

假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率.

(1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率；

(2)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小；

(3)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望.

16．如图1，在中，，、两点分别在、上，且.现将沿折起，使二面角为直二面角，得到四棱锥，如图2.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

17．已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求的最大值；

（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线，求.

18．已知函数，

(1)讨论函数的单调区间；

(2)讨论函数的零点个数；

(3)对任意的恒成立，求的取值范围；

19．帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为．

(1)