专题24.4 圆周角（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练（原卷版）.docx

专题24.4圆周角

目录

TOC\o1-2\h\u一．知识梳理与题型分类精析 1

【知识点一】圆周角定义 1

【题型1】圆周角的辨析 1

【知识点二】圆周角定理 2

【题型2】圆周角定理——同弧或等弧所对的圆周角等于所于这么弧所对圆心角的一半 2

【题型3】圆周角——同弧或等弧所对的圆周角相等 3

【知识点三】圆周角定理的推论 4

【题型4】圆周角的推论——半圆或直径所以的圆周角等于90度 4

【题型5】圆周角的推论——90度的圆周角所对的弦是直径 5

【知识点四】圆内接四边形 6

【题型6】利用圆内接四边形求值 7

【题型7】利用圆内接四边形进行证明 8

二.同步练习 9

【基础巩固（16题）】 9

【能力提升（16题）】 13

知识梳理与题型分类精析

【知识点一】圆周角定义

像图1中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

图1

【题型1】圆周角的辨析

【例题1】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（????）

A．?? B．?? C．?? D．??

【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是，所对的圆周角是．

??

【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，点均在圆上，则图中有个圆周角．

【知识点二】圆周角定理

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

图形

条件

结论

在中，

在中，

【题型2】圆周角定理——同弧或等弧所对的圆周角等于所于这么弧所对圆心角的一半

【例题2】（根据人教版九上P88第3题改编）（24-25九年级下·江西·阶段练习）如图，，，都是的半径，．

（1）求证：；

（2）若，求证：．

【变式1】（根据人教版九上P89复习与巩固第5题改编）（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的外接圆，作于点，连接，若，则的度数是（???）

A． B． C． D．

【变式2】（2023·湖北武汉·中考真题）如图，都是的半径，．

（1）求证：；

（2）若，求的半径．

【题型3】圆周角——同弧或等弧所对的圆周角相等

【例题3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A、P、B、C是上的四个点，．

（1）判断的形状，并证明你的结论；

（2）判断与之间的关系，并证明．

【变式1】（2025·广东深圳·二模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为，若，则船P位于安全区域时，的大小可能为°．（写出一个即可）

【变式2】（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，点、、、在上，，则为

【知识点三】圆周角定理的推论

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

图形

条件

结论

在中，为的直径

在中，

为的直径

【特别说明】

（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

【题型4】圆周角的推论——半圆或直径所以的圆周角等于90度

【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知中，为半圆O的直径，、分别交半圆O于点E、D，且．

（1）求证：点是的中点．

（2）若点E是的中点，判断的形状，并说明理由．

【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（????）

A． B． C． D．

【变式2】（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为．

【变式3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的直径，C是上一点，于点D，，．

（1）求的长；

（2）求的长．

【题型5】圆周角的推论——90度的圆周角所对的弦是直径

【例题5】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题：

（1）求线段的长；

（2）求的半径及圆心的坐标．

【变式1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径的是（????）

A．B．C． D．

【变式2】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图