24.1.124.1.2 圆 垂直于弦的直径 解析版.docx

24.1.124.1.2圆垂直于弦的直径

【考点归纳】

【知识梳理】

知识点01圆的基础知识

（1）圆的定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.此外，圆心为0，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.如图中的AB，CD。

(3)直径：经过圆心的弦叫做直径.如图中的AB。

(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，筒称弧.以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”

圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示，如图中的CAB；小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC，BD。

(5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

(6)等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

知识点二：垂径定理及其推论

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如下图，AB是直径且CP=PD，则CD⊥AB，且AC=

【题型探究】

题型一：圆的基本概念

【例1】．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列命题：正确的是（????）

①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧．③能够完全重合的两条圆弧是等弧．④长度相等的弧所对的弦相等．

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

【答案】B

【分析】本题考查圆的基本性质，涉及弦、弧的关系及等弧的定义。需逐项判断命题的正确性。

【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为非直径的弦对的弧有优弧和劣弧之分，本选项不符合题意；

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧，本选项符合题意；

③能够完全重合的两条圆弧是等弧，本选项符合题意；

④长度相等的弧所对的弦不一定相等，本选项不符合题意；

∴正确命题为②和③，

故选：B．

【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中正确的是（???）

①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧．

A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥

【答案】A

【分析】本题考查命题与定理，运用直径的定义与性质即可判断①③⑤是否正确；运用“比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧”即可判断②④是否正确；运用“在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧”即可判断⑥⑧是否正确；运用“圆上两点间的部分叫做圆弧”即可判断⑦是否正确．解题的关键是理解命题有题设和结论两部分组成．

【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确；

弧不一定是半圆，故②错误；

直径是线段不是直线，故③错误；

半圆是弧，故④错误；

直径是弦，故⑤错误；

在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误；

圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误；

⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，

∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确．

∴正确的命题是①⑧．

故选：A．

【变式2】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（???）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】本题主要考查了圆的相关概念，解决本题的关键是掌握相关的概念．先回忆弦、直径、弧、半圆、等弧等相关的概念，然后根据相关概念来逐个判断即可．

【详解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误；

②半径相等的两个半圆是等弧，正确；

③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；

④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误；

⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误；

综上，正确的有：②③，共2个，

故选：B．

题型二：弦的条数及最长的弦问题

【例2】．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案．

【详解】解：图中的弦有共三条，

故选：B．

【变式1】．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点