【数】平方差公式课件+2025-2026学年人教版八年级数学上册.pptxVIP

16.3乘法公式

16.3.1平方差公式R·八年级上册

一、学习目标

1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.

2.灵活应用平方差公式进行计算.

二、自学

1.复习多项式乘以多项式的法则：

一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的

每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq

二、自学

2.请利用多项式乘多项式计算下列算式，观察有什么规律?

(1)(x+1)(x-1)x²-1:x²-1²

(2)(m+2)(m-2)=m²-4;m²-22

(3)(2m+1(2m-;1)=4m²-1.(2m)²-1²

探究1等式的左边有什么特点?两个多项式是什么运算?

(两个数的和)×(这两个数的差)

探究2等式的右边有什么特点?

运算结果都是：等于这两个数的平方的差

猜想：(a+b)(a-b)=a²-b²

证明一：利用多项式乘多项式的法则验证

(a+b)a-b)=a²

=a²-b²

证明二：利用几何图形的面积验证

如图有个边长为a的大正方形，现要剪掉边长为b的小正方形，你能求剩余部分的面积吗?

拼成的长方形面积：

(a-b(a+b)

(a-b)(a+b)=a²-b²

还有其它方法吗

纸片剩余面积：a²-b²

注意用谁减谁

平方差公式：

(a-b)(a+b)=a²-b²

两个数的和与这两个数的差的积，等

于这两数的平方差

平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中

p=a,q=-b的特殊情形.

符号相同项为a符号相反项为b

结构特征：左边=(两个数的和)×(这两个数的差)右边=(符号相同项)²-(符号相反项)²

等号左边的两个二项式中的每一项有什么联系?

(a-b)(a+b)=a²-b²

练习

1.下列算式不能运用平方差公式计算的是(C)

A.(x+a)(x-a)

B.(x+a)(-a+x)

C.(a+b)(-a-b)

D.(-x-b)(x-b)

计算

符号相同项

符号相反项

结果

(1+x)(1-x)

1

X

1²-x²=1-x²

(-3+a)(-3-a)

-3

a

(-3)²-a²=9-a²

(1+a)(-1+a)

a

工

a²-1²=a²-1

(3x-1)(1+3x)

3x

1

(3x)²-1²=9x²-1

练习

2.填一填：

典例精析

例1运用平方差公式计算：【教材P112】

(1(3x+2(3x-2);(2(-x+2y)(-x-2y).

分析：(1)符号相同项a=3x,(2)符号相同项a=-x,

符号相反项b=2符号相反项b=2y

解：原式=(-x)²-(2y)²

=x²-4y²

解：原式=(3x)²-22

=9x²-4

3.下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正?

(1)(x+2)(x-2)=x²-X原式=x²-2²=x²-4

(2)(-a-2)(a-2)=a²×4;原式=(-2)²-a²=4-a²

(3)(3a+4b)(3a-4b)=9a²×4b².

原式=(3a)²-(4b)²=9a²-16b²

(2)(y+2)(y-2)-(y-1(y+5);

能用平方差公式计算吗?

解：原式=y²-2²-(y²+4y-5)

只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.

例2计算：(1)(x-1)(x+1)(x²+1);

解：原式=(x²-1)(x²+1)=x⁴-1

=y²-4-y²-4y+5

=-4y+1

【教材P113】

(3)102×98.

解：原式=(100+2)(100-2)

=100²—2²

=10000一4

=9996

通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.

(1)(xy+1(x²y²+1(xy-1;

解：原式=(xy+1)(xy-1)(x²y²+1)

=[(xy)²-1²](x²y²+1)

=(x²y²-1(x²y²+1)

=(x²y²)²-1²

=x⁴y⁴-1

4.计算：

练习

(2)51×49;

解：原式=(50+1)(50-1)

=50²-1²

=2500-1=2499

(3)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2);

解：原式=(3x)²-4²-(6x²-4x+9x-6)

=9x²-16-6x²-5x+6

=3x²-5x-10