高一数学上学期人教B版必修第一册专题05 函数的概念及其表示（2个考点梳理，6题型解读+提升训练）.docxVIP

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专题05函数的概念及其表示

【清单01】函数的概念

1.给定是两个非空的实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A

x称为自变量，y称为因变量.

2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）；

3.值域：所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}．显然，值域是集合B的子集．

4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等）

5.拓广：复合函数的认识，函数是由f(u)),u(x)=x+1复合而成的复合函数.

【清单02】函数的表示方法

1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

2.分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

3.提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

【考点题型一】函数关系及相等函数的判断

【例1】（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等

【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数.

【详解】对于A，和定义域均为R，，

故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误；

对于B，和定义域均为R，，

故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确；

对于C，定义域为，定义域为R，

故和定义域不相同，和不是同一个函数，故C错误；

对于D，定义域为R，定义域为，

故和定义域不相同，和不是同一个函数，故D错误；

故选：B.

【变式1-1】（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列图形中，可以表示函数y=fx的是（????

A． B．

C． D．

【答案】B

【知识点】函数关系的判断、图象法表示函数、函数图像的识别

【分析】由函数的定义即可得解.

【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足：

其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意.

故选：B.

【变式1-2】（22-23高一上·福建泉州·期中）下列结论正确的有（????）

A．函数的定义域为

B．函数，的图象与轴有且只有一个交点

C．函数的图象与直线有且只有一个交点

D．与是相同函数

【答案】B

【知识点】函数关系的判断、具体函数的定义域、判断两个函数是否相等

【分析】求出函数的定义域，判断A的真假；根据函数的概念判断BC的真假；化简函数解析式，根据对应关系判断是否为同一个函数，判断D的真假.

【详解】对A：由且，所以函数的定义域为，故A错误；

对B：根据函数的概念，可判断B正确；

对C：由函数的概念，可得函数的图象与直线至多有一个交点，故C错误；

对D：因为的定义域为，所以，与对应关系不同，所以与不是同一个函数，所以D错误.

故选：B

【变式1-3】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）下列各组中的函数，表示同一函数的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等

【分析】根据定义域及对应关系判断是否是同一函数.

【详解】选项A，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数；

选项B，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数；

选项C，，，两个函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；

选项D，，，即，是同一函数，

故选:D．

【变式1-4】（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（????）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】AC

【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等

【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数.

【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；

对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误；

对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；

对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.

故选：AC

【考点题型二】求函数值

【例2】（23-24高一上·安徽淮北·期