高一数学上学期人教B版必修第一册专题07 函数、方程、不等式及函数的应用（4个考点梳理，11题型解读+提升训练）.docxVIP

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专题07函数、方程、不等式及函数的应用

【清单01】函数的零点

1.函数零点的定义：使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2.三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点

3.拓广：（）1若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

【清单02】二次函数的零点与其对应方程、不等式解集之间的关系

1．函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根的关系

函数图象

判别式符号

(设判别式

Δ＝b2－4ac)

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

与x轴交

点个数

2

1

0

方程的根（函数零点）的个数

2

1

0

ax2＋bx＋c0（a0）

的解集

（-?，x1)∪(x2,+?)

（-?，x0)∪(x0,+?)

R

（注：a0的情况，类似可以给出）

2.拓广：穿根法（根轴法）解不等式：

（1）整理不等式，一端化为因式积，且各因式中x系数为正；

（2）求相应方程的根；

（3）将上述根标在数轴上；

（4）从最右边的根开始，自上而下穿过数轴，其它各根依次穿过（二重根穿而不过）；

（5）位于数轴上方的曲线对应区间使不等式大于0，其它对应区间使不等式小于0成立.

类似如图所示：

【清单03】零点存在性定理及其近似值的求法

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

2.二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

【清单4】常见函数模型

1.常见函数模型

（1）一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)；

（2）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

（3）分式函数模型

（4）分段函数模型

（5）拓广：函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a0)的性质及最值：

(1)该函数在(－∞，－eq\r(a))和(eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减．

(2)当x0时，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)，

当x0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).

2.函数应用问题解法

=1\*GB3①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

=2\*GB3②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

=3\*GB3③求模：求解数学模型，得出数学结论；

=4\*GB3④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

【考点题型一】求函数的零点

【例1】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为（????）

A．30 B．14 C．12 D．6

【答案】A

【知识点】求零点的和、函数对称性的应用、函数周期性的应用

【分析】先根据题干求出函数的最小正周期，在画出函数的大致图像即可求解.

【详解】因为函数是奇函数，所以，且又因为，

所以即且函数关于对称，

令得，所以，即函数的最小正周期，

再由函数在上单调递减，方程在有实根可知方程在有且仅有一个实根，函数的大致图像如图所示：

??

由图可知函数与在区间有个交点，且两两对称

所以.

故选：A

【变式1-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数的零点是（????）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【知识点】求函数的零点

【分析】解方程求出的解，即可求得函数的零点.

【详解】令，

即函数的零点是，

故选：C

【变式1-2】（24-25高一上·上海·课前预习）函数中，若，则的值为．

【答案】

【知识点】函数与方程的综合应用、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

【分析】已知函数值，代入求解即可.

【详解】即，即，则.

故答案为：

【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的零点是.

【答案】

【知识点】求函数的零点

【分析】令解得，从而即为的零点.

【详解】由题意可知的定义域为，

令，可得，解得（舍去）或，所以.

故答案为：.

【变式1-4】（24-25高一上·全国·课堂例题）