高一数学上学期人教B版必修第一册专题05函数的性质（单调性、奇偶性和对称性）（考题猜想，易错必刷48题12种题型）.docxVIP

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专题05函数的性质（单调性、奇偶性和对称性）

（易错必刷48题12种题型专项训练）

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定义法判断或证明函数的单调性

根据函数的单调性求参数值

利用函数单调性求最值或值域

根据函数的最值求参数

复合函数的单调性

函数不等式恒成立问题

函数不等式能成立（有解）问题

函数奇偶性的定义与判断

由奇偶性求函数解析式

判断或证明函数的对称性

由对称性求函数的解析式

由函数对称性求函数值或参数

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一．定义法判断或证明函数的单调性（共4小题）

1．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减，

再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围.

【详解】由任意，都有，知在单调递减，

要使在单调递减，则或，即或.

故选：A.

2．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数

(1)当时，判断的单调性并证明；

(2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)在上单调递增，证明见解析

(2)

【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取且，然后化简变形，再判断其符号，从而可得结论；

（2）将问题转化为在恒成立，再转化为在恒成立，然后根据的单调性可求得结果.

【详解】（1）在上单调递增，证明如下：

任取且，

因为，所以

所以，即，

所以在上单调递增；

（2）因为是的充分条件，所以若，则为真，

即在恒成立，

所以在恒成立；

由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增，

所以，即

3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，．

(1)求；

(2)证明：函数在为增函数；

(3)如果，解不等式．

【答案】(1)0

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得；

（2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明；

（3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得.

【详解】（1）∵，

令，则，

∴；

（2）由，可得，

则得，，

设，由，

因时，有，依题意，，即，

所以函数在为增函数；

（3）因，∴，

又由，则，

由可得，

即，即，因函数在为增函数

故可得，，

解得，即不等式的解集为.

【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题.

解题方法主要有：

（1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值）

（2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性)

（3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解.

4．（23-24高一上·上海静安·期中）如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称．已知函数

(1)若，求的值；

(2)证明：函数的图像关于对称；

(3)若关于的不等式恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用条件代入解方程即得；

（2）计算再与比较得即得证；

（3）先运用函数的单调性定义推导函数的单调性，再运用单调性和对称性求解抽象不等式，最后分离变量，利用基本不等式即得参数范围.

【详解】（1）因，由解得；

（2）因，

则，

故函数y=fx的图像关于对称.

（3）任取，由

因，则，即；因，则，即；

，，故，即，故在上单调递增，

因的图象关于对称，故在上单调递减.

由可得，，即（*），

当时，不等式显然成立；时，由（*）可得，

因，，当且仅当时等号成立，

故得，解得，，即m的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：解题的关键在于求解抽象不等式时，需判断函数的单调性，在求解含参的不等式恒成立问题，一般首选参变分离，将问题转化成求函数的最值，其次是数形结合讨论函数的方法.

二．根据函数的单调性求参数值（共5小题）

5．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可.

【详解】因为函数是上的增函数，

所以，解得，即的取值范围是.

故选：D

6．（23-24高一上·四川成都·期中）若函数y=fx在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围．

【答案】

【分析】由二次函数的性质可得函数单调区间，分类讨论结合二次函数根的分布分别求解，最后再求并集即得答案．

【详解】