高一数学上学期人教B版必修第一册专题03均值不等式（考题猜想，易错必刷43题8种题型）.docxVIP

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专题03均值不等式

（易错必刷43题8种题型专项训练）

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均值不等式求积的最大值

均值不等式求和的最小值

二次与二次（或一次）的商式的最值

条件等式求最值

均值不等式的恒成立问题

对勾函数求最值

基本（均值）不等式的应用

有均值不等式“1”的妙用求最

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一．均值不等式求积的最大值（共5小题）

1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则x2-3x的最大值是（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解.

【详解】已知，

则x

≤1

当且仅当3x=2-3x，即等号成立.

故x2-3x的最大值是.

故选：A

2．（22-23高一上·江苏镇江·期中）设正实数满足，则（???）

A．的最大值是 B．的最小值为4

C．最小值为 D．最小值为2

【答案】ABC

【分析】直接利用基本不等式即可求解A，利用乘“1”法即可求解B，利用完全平方式的性质即可求解C，将“1”代换，即可由基本不等式求解D.

【详解】对于A，，解得，

当且仅当，即，时等号成立，故A正确；

对于B，，

当且仅当即时等号成立，故B正确；

对于C，，当且仅当，时等号成立，C正确；

对于D，，

当且仅当即时等号成立，故D错误．

故选：ABC．

3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，且，则下列不等式成立的是（????）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】借助基本不等式可求积的最大值，即可得A；借助基本不等式“1”的妙用可得B；结合A中所得可得C；借助作差法，结合所给条件可得D.

【详解】对A：，当且仅当时，等号成立，故A错误；

对B：，

当且仅当，即，时，等号成立，故B正确；

对C：由A知，，故，

即，当且仅当时，等号成立，故C正确；

对D：由，故，

则，

由，，故，则，

即，故，故D正确.

故选：BCD.

4．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，且，则（????）

A．的最小值是 B．的最小值是

C．的最小值是 D．的最小值是26

【答案】BC

【分析】利用基本不等式根据可得，即可求解选项A；利用基本不等式即可求解选项B；利用基本不等式可得即可求解选项C；根据，再结合等号成立条件可求解选项D.

【详解】已知，且，

则，所以，当且仅当时，等号成立，A选项错误；

，当且仅当时，等号成立，B选项正确；

因为，所以，当且仅当时，等号成立，C选项正确；

由题意可得，此时，

因为，而不存在使得，则D选项错误.

故选：BC

5．（22-23高一上·湖南衡阳·期末）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）．

(1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为）

(2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？

【答案】(1)长宽均为；

(2)长为，宽为

【分析】（1）由，然后利用基本不等式求出的最大值，从而求解；

（2）由体积一定得然后利用基本不等式求出的最小值，从而求解.

【详解】（1）由题意得底面大矩形周长为，且大矩形的长设为x0，宽设为，

所以，得，所以，

当且仅当时取等号，此时，

所以底面面积最大为.

（2）由题意知走马灯的体积为，高为，所以底面积为，

框架用料最少等价于底面用料为最小即可，

，当，即取等号，

故当长为、宽为时，用料最少.

二．均值不等式求和的最小值（共5小题）

6．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值.

【详解】

，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：D

7．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】利用基本不等式计算可得.

【详解】因为，所以（当且仅当，即时取等号）.

所以的最小值为.

故选：C

8．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知a，b为正实数，且，，，则（????）

A．的最大值为4 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为2

【答案】BD

【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断.