高一数学上学期人教B版必修第一册专题01 集合及其基本关系（6个考点梳理，10个题型解读+提升训练）.docxVIP

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专题01集合及其基本关系

【清单01】集合与元素

1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.

2.元素与集合的关系

关系

概念

记法

读法

属于

如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A

a∈A

a属于集合A

不属于

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A

a?A

a不属于集合A

【清单02】集合中元素的特点

(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

(3)无序性：集合中的元素可以任意排列．如果两个集合A，B,组成它们的元素完全相同，成这两个集合相等，记作A=B.

【清单03】集合的分类

含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.

空集：不含任何元素的集合.

【特别提醒】空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集！

【清单04】几种特殊数集

N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．

【清单05】集合的表示方法

1.自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．

2.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

3.描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示成.这种表示集合的方法称为描述法.

4.区间表示法：

（1）一般区间的表示．

设a，b∈R，且ab，规定如下：

定义

名称

符号

数轴表示

{x|a≤x≤b}

闭区间

__[a，b]__

{x|a＜x＜b}

开区间

__(a，b)__

{x|a≤x＜b}

半开半

闭区间

[a，b)

{x|a＜x≤b}

半开半

闭区间

(a，b]

（2）特殊区间的表示.

定义

R

{x|x≥a}

{x|xa}

{x|x≤a}

{x|xa}

符号

(－∞，＋∞)

[a，＋∞)

(a，＋∞)

(－∞，a]

(－∞，a)

【特别提醒】

①关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．

②区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．

③正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．

=4\*GB3④区间的端点a,b，b-a称为区间的长度.

【清单06】子集、真子集

1.子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A.读作A包含于B或B包含A.

2.如果A不是B的子集，记作A?B或B?A.读作A不包含于B或B不包含A.

3.任意集合A都是它自身的子集，Φ?A.

4.规定：空集是任何集合A的子集．A?A

5.真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则中A称作集合B的真子集，记作AB或BA.读作A真包含于B或B真包含A.

6.维恩图：用平面上一条封闭曲线的内部表示集合，表示集合关系的示意图称作维恩图.

7.集合间关系的“传递性”：

对于集合A，B，C，

①若A?B，且B?C，则A?C；

②若AB，BC，则AC．

8.集合的相等与子集的关系：

（1）若A?B，且B?A，则A=B；

（2）若A=B，则A?B，且B?A；

9.集合的子集、真子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．

【考点题型一】集合的概念

【例1】（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（????）

A．2023年参加“两会”的代表

B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目

C．的近似值

D．我校跑步速度快的学生

【答案】A

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】根据集合的定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确；

对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B错误；

对于C：的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误；

对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误；

故选：A

【变式1-1】（24-25高一上·湖南岳阳·开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（????）

A．上课迟到的学生 B．2020年高考数学难题

C．所有有理数 D．小于的正整数

【答案】B

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】由集合元素的确定性即