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中考数学经典题型解析与练习

中考数学，作为检验初中阶段数学学习成果的重要标尺，其命题既注重基础知识的考查，也强调对学生分析问题和解决问题能力的甄别。在备考过程中，对经典题型的深入理解和熟练掌握，无疑是提升应试能力的关键。本文将结合中考数学的核心考点，对几类经典题型进行深度解析，并配以针对性练习，希望能为同学们的复习备考提供切实的帮助。

一、函数综合题——代数与几何的完美融合

函数是贯穿初中数学的一条主线，而函数综合题更是中考数学的重中之重，常以压轴题的形式出现。这类题目往往融合了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，还常常与几何图形（如三角形、四边形、圆）相结合，考查学生综合运用知识的能力。

（一）题型解读

函数综合题通常涉及函数解析式的确定、函数图象与坐标轴的交点、函数的增减性、最值问题，以及与几何图形相关的面积、周长、存在性等问题。解题时，需要同学们具备数形结合的思想，能从函数图象中获取信息，也能将几何问题转化为代数问题求解。

（二）典例精析

例题：已知二次函数的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)，且顶点C到x轴的距离为2。

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，连接PA、PB，设△PAB的面积为S，求S的最大值。

思路点拨：

第(1)问，已知二次函数与x轴的两个交点A、B，故可设交点式y=a(x+1)(x-3)。顶点C到x轴的距离为2，意味着顶点的纵坐标为2或-2。根据抛物线的对称性，顶点的横坐标为A、B两点横坐标的中点，即((-1+3)/2,k)=(1,k)，所以k=2或k=-2。将顶点坐标代入所设解析式即可求出a的值，进而得到函数解析式。注意，这里可能有两种情况。

第(2)问，要求△PAB的面积最大值。因为AB是定长（可先求出AB的长度），点P在x轴上方，所以△PAB的高就是点P的纵坐标。因此，问题转化为求二次函数在x轴上方部分的最大值（当顶点在x轴上方时），或者在特定区间内的最大值（当顶点在x轴下方时，此时需考虑函数在A、B两点间的最大值）。

解答过程：

(1)∵二次函数图象过A(-1,0)、B(3,0)，

∴设其解析式为y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)。

抛物线顶点的横坐标为x=(-1+3)/2=1。

当x=1时，y=a(1-2-3)=-4a。

∵顶点C到x轴的距离为2，

∴|-4a|=2，即|a|=1/2，解得a=1/2或a=-1/2。

∴二次函数解析式为y=(1/2)(x2-2x-3)或y=(-1/2)(x2-2x-3)。

化简得：y=(1/2)x2-x-3/2或y=(-1/2)x2+x+3/2。

(2)由A(-1,0)、B(3,0)可得AB=3-(-1)=4。

设点P的坐标为(x,y)，其中y0。

则S△PAB=(1/2)×AB×|y_P|=(1/2)×4×y=2y。

要使S最大，即需使y最大。

①当二次函数为y=(1/2)x2-x-3/2时，此抛物线开口向上，顶点坐标为(1,-2)。因为顶点在x轴下方，所以函数在x轴上方的图象为x-1或x3的部分，此时y的值可以无限增大，S无最大值。这种情况不符合题意，舍去。

②当二次函数为y=(-1/2)x2+x+3/2时，此抛物线开口向下，顶点坐标为(1,2)。顶点在x轴上方，所以当x=1时，y取得最大值2。

∴S的最大值为2×2=4。

综上，S的最大值为4。

方法提炼：

解决二次函数综合题，首先要熟练掌握二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化，能根据已知条件灵活选择合适的表达式。其次，要善于利用二次函数的对称性，以及顶点坐标求最值的特性。在与几何结合时，要明确图形的构成要素，将几何量（如面积、线段长度）用含未知数的代数式表示出来，再利用函数的性质求解。

（三）实战演练

练习：如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m/x(x0)的图象交于A(3,n)、B(1,4)两点，与x轴交于点C。

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)点P是x轴上的一个动点，当△ACP的面积为△ABC面积的一半时，求点P的坐标。

（提示：注意点P可能在点C的左侧或右侧）

二、圆的综合题——性质与判定的灵活运用

圆是初中几何的核心内容，圆的综合题常常集切线的判定与性质、垂径定理、圆心角与圆周角的关系、弦切角定理、圆内接