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浅谈“隐形圆”在解题中的应用

摘要：数学中的动点问题比较常见，即使是在初中数学中也时常遇到，对于初学者而言经常无从下手，处理起来有时也比较麻烦，若能弄清楚动点轨迹就会給解题带来方便，此处仅以动点中的一类问题“圆”来加以探讨、归纳、

整理，通过分析条件来确定圆，并借助圆来解决问题。

关键词：动点问题，隐形圆，圆的确定

下面就动点问题中涉及“隐形圆”的情况加以分类整理。

类型一，利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)来确定隐形圆。

通过几何关系转化条件确定定点与定长。

例1 如图（1），在矩形ABCD中，AB=13，BC=8，E为AB上一点，BE=8P,

为直线CD上的动点，以PQ为斜边作Rt?PDQ，交直线AD于点Q，且满足

PQ=10，若F为的PQ中点，连接CE,CF，则当∠ECF最小时，tan∠ECF的值为（ ）

图（1） 图（2）

解析：由题易知DF=1

，根据圆的定义，点F的轨迹是以点D为圆心，

2PQ=5

半径r=5的圆，如图（2），这样便可知，当CF与圆相切时∠ECF最小，作EG⊥CD

于点G，交CF于点H，则CG=BE=8，由CF2=CD2-DF2可得CF=12，由?CGH

~?CFD可得GH=10，CH=26，从而求得EH=14，再由等腰Rt?BCE可得∠

3 3 3

GEC=45○，作HM⊥EC于点M，则EM=HM=2EH=72，而CM=CE-EM=172，

2 3 3

17所以tan∠ECF=7。

17

直接给出定点和定长。

例2 如图（3），已知正方形ABCD的边长为4，P为平面内一点，且满足

2PB=2，则PD-1PC的最大值为（ ）

2

图（3） 图（4）

解析：由PB=2可知，点P的轨迹是以点B为圆心，以r=2为半径的圆，

如图（4），进而可以看出此题是典型的阿氏圆模型，在BC上取点Q，使BQ=1，连接PQ，易得出?BPQ∽?BCP，所以PQ=1PC，从而(PD-1PC)的最大值便

2 2

转化为(PD-PQ)的最大值，当P、D、Q三点共线时(PD1PC) =(PDPQ)

=DQ=

CQ2+CD2=5。

2 max

max

轴对称变换，根据对称性的性质确定定点和定长。

例3如图（5），矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是边BC上的任意一点，把?BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为（）

图（5） 图（6）

解析：此题以轴对称知识为背景，但对称轴EF不确定，从而点B的对称点G

不确定，所以可以先考察点G的可能位置；

由题意可得EG=EB=1，可知点G在以点E为圆心，半径r=1的部分圆上，如图（６），连接AC，由于S四边形AGCD=S?ACD+S?AGC，所以求S四边形AGCD

的最小值只需求S?AGC的最小值即可，又因为AC长度为定值，可作GH⊥AC

于点H，从而可知GH最小时S?AGC最小，故作EH’⊥AC于点H’，交圆E于点G’，当点G位于点G’时，S?AGC最小，由EH’=AE×sin∠BAC=AE×4=8可得

55

G’H’=EH’-r=3，所以(S?AGC)

1 1 3 3

= ×AC×GH= ×5× =

5

(S四边形AGCD)min

15。

=2

=

min 2

2 5 2

类型二，同弦所对的圆周角相等。１.当定角为90○时，所对弦为直径。

例4 如图（7），Rt?ABC中，AB

的一

⊥BC，AB=6，BC=4，P是?ABC内部

动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）

图（7） 图（8）

解析：由∠PAB=∠PBC可得出∠APB=90○,从而可得出点P在以AB为直

径的部分圆周上，圆心为AB的中点O，（如图（8）），半径r=1

，易求得

(CP)min=CO-r= BC2+BO2-r=2。

２.当定角不是90○时，所对弦不是直径。

2AB=3

例5 如图（9），在?ABC中，BC=23，D为边AB上一点且∠BDC=60○，

AD=CD，则?ACD的面积的最大值为（ ）

图（9） 图（10）

2解析：如图（10），作AE⊥CD于点E，设AD=CD=a，则S?ACD=1

2

4×CD×AE=3a2，要求S?ACD的最大值只需求a