2025年下学期高中数学发展性评价工具试卷.docVIP

2025年下学期高中数学发展性评价工具试卷

一、数与代数模块（40分）

（一）基础概念理解（10分）

函数性质分析

已知函数$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$，回答下列问题：

（1）求函数的定义域和值域；

（2）判断函数在区间$(-3,+\infty)$上的单调性，并证明你的结论；

（3）若函数图像与直线$y=kx+b$相切于点$(1,\frac{1}{4})$，求$k$和$b$的值。

代数推理应用

设数列${a_n}$满足$a_1=1$，且$a_{n+1}=2a_n+3^n$（$n\in\mathbb{N}^*$）。

（1）证明数列${a_n+3^n}$是等比数列；

（2）求数列${a_n}$的通项公式及前$n$项和$S_n$。

（二）问题解决与建模（15分）

实际情境应用

某电商平台销售一种电子产品，根据市场调研，当售价为$x$元/台时，每月销售量$y$（台）与售价的关系为$y=-10x+2000$（$80\leqx\leq150$）。已知该产品的成本为50元/台，每月固定成本为10000元。

（1）写出每月利润$P(x)$关于售价$x$的函数关系式；

（2）当售价为多少时，每月利润最大？最大利润是多少？

（3）若平台为了提高市场占有率，计划将月利润控制在30000元以上，求售价$x$的取值范围。

数学建模与探究

某城市居民用水实行阶梯收费制度：每户每月用水量不超过15吨时，水费为3元/吨；超过15吨但不超过25吨的部分，水费为4元/吨；超过25吨的部分，水费为6元/吨。

（1）试写出水费$C$（元）关于用水量$t$（吨）的分段函数解析式；

（2）若某用户10月份水费为82元，求该用户当月用水量；

（3）为鼓励节约用水，政府计划调整收费标准：将第一阶梯水量提高至20吨，且超过20吨的部分水费上调20%。调整后，若某用户用水量为30吨，水费将比调整前增加多少元？

（三）思维拓展与创新（15分）

代数综合探究

已知关于$x$的方程$x^2-(m+2)x+2m=0$（$m$为常数）。

（1）求证：无论$m$为何值，方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个根均为正整数，求$m$的值及对应的根；

（3）设方程的两根为$x_1$，$x_2$（$x_1\leqx_2$），若$t=\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$，求$t$的取值范围。

开放型问题

请设计一个以“函数与不等式”为主题的实际问题，满足以下要求：

（1）问题情境贴近生活，具有现实意义；

（2）需运用二次函数的图像与性质求解；

（3）写出问题描述、解答过程及结果，并说明该问题中蕴含的数学思想方法。

二、几何与拓扑模块（35分）

（一）空间想象与证明（15分）

立体几何综合

如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$为$BC$的中点。

（1）求证：$A_1B\parallel$平面$ADC_1$；

（2）求直线$A_1D$与平面$BCC_1B_1$所成角的正弦值；

（3）求三棱锥$C_1-ADC$的体积。

解析几何应用

已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$ab0$）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$。

（1）求椭圆$C$的标准方程；

（2）设直线$l$：$y=kx+m$与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，$O$为坐标原点，若$OA\perpOB$，求证：原点$O$到直线$l$的距离为定值。

（二）几何直观与探究（20分）

动态几何问题

在平面直角坐标系中，已知点$A(0,2)$，$B(3,0)$，点$P$是线段$AB$上的动点（不与$A$，$B$重合），过点$P$作$PD\perpx$轴于点$D$，$PE\perpy$轴于点$E$。

（1）设点$P$的横坐标为$t$，用含$t$的代数式表示矩形$PDOE$的面积$S$；

（2）当$t$为何值时，矩形$PDOE$的面积最大？最大面积是多少？

（3）若点$Q$是直线$AB$上异于$P$的另一点，且矩形$QDOE$与矩形$PDOE$相似，求点$Q$的坐标。

几何模型构建

某工厂要设计一个无盖的圆柱形储水罐，容积为$V=500\pi,\text{m}^3$，罐底材料成本为300元/$\text{m}^2$，罐身材料成本为200元/$\text{m}^2$。

（1）设圆柱的底面半径为$r$，写出总成本$C(r)$关于$r$的函数关系式；

（2）当底面半径$r$为何值时，