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基于函数零点问题的可视化研究

摘要：纵观高考对函数问题的考查，零点问题是高考考查的热点也是难点，其主要考查了逻辑推理、数学运算等核心素养.函数零点问题所涉及的数学思想有分类讨论思想，数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想等.借助数学软件GeoGebra可以将函数零点问题可视化，让学生更直观的去解决函数零点问题.

关键词：函数零点；GeoGebra；数形结合；转化与化归

一、问题概述

高考对函数问题的考查方向主要有：参数的求解、切线的求解、最（极）值的求解、基于最值或极值的函数不等式和零点问题等.而函数的零点问题一直是高考中的热点和难点，通常会出现在选择、填空的压轴题以及解答题中.这是因为零点问题不仅包含了许多函数内容和数学思想，而且还可以综合考察学生对于函数的理解能力和应用能力.另外，函数与导数越来越侧重于在零点或极值点处设计问题，以此来体现函数的零点、方程的根以及函数图像与x轴交点这三个问题之间的相互转化.借助数学软件GeoGebra将函数零点问题可视化，以形象直观的图片和动态的图像，将抽象的数学问题可视化，解释数据内在本质.GeoGebra操作简单，学生在现有信息技术的基础上，可动手操作的实验让学生参与到数学概念、数学对象的形成过程.将抽象的、难以理解的教学内容借助GeoGebra的相关功能以形象、直观、具体的方式展现给学生.将GeoGebra应用于函数零点问题的教学中，可以帮助学生理解零点的概念，让学生建立“数”与“形”之间的联系，从而更直观的去观察问题的本

质解决零点问题，与此同时能够提升学生的数形结合、转化与化归的数学思想.

二、知识储备

函数零点问题，一般是把两个函数图像的交点问题转化为一个新的函数的零点问题，或者把一个函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，主要体现了转化与化归、数形结合数

学思想. 而对于函数零点问题中参数的取值范围，可利用函数的极值（最值）判断函数零

点个数，通过极值的正负、特殊点、函数的单调性等判断函数图像变化的趋势，画出函数的

大致图像，确定参数的取值范围.针对此类问题，需要学生熟练掌握函数零点定义，零点存在定理，函数的零点、方程的根、函数y=f(x)图像与x轴有交点等知识.

函数零点的定义：方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横

[1]

坐标.

函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲

线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c?(a,b),使得

f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根.[1]

函数零点、方程的根、函数y=f(x)图像与x轴有交点之间的关系

三、函数零点问题常见题型

题型一：可直接求解零点

例1.若函数f(x)=cosx+2|cosx|则f(x)在[0,2p]上的零点为

ì3cosx,x?

?

p

[0,]

2

U[3p,2p]

2

p3p

解析：由题意知，f(x)=í

p3p

，令f(x)=0，得x=, ，

??-cos,x??

?

( , ) 2 2

2 2

所以f(x)在[0,2p]的零点为p

,3p.

2 2

例1变式：若函数f(x)=cosx+2|cosx|-m，若函数f(x)在[0,2p]上恰有两个零点，则m的取值范围为

题型二：零点存在定理

x1 2 3例2.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=x+lnx,h(x)=x- -1的零点分别为x,x,

x

1 2 3

则x1,x2,x3的大小关系为

解析：方法一直接求解

f(x)=2x+x在上?

单调递增，且f(-1)=-1 1

0,f(0)=1+00，所以x?

(-1,0)；

g(x)=x+lnx在(0,+￥)单调递增，且

+

2

1 1 1

g()=+ln

e e e

1

0,g(1)=1+ln10，所以

x2?

1

(,1)；

e

xh(x)=x- -1在

x

[0, )上单调递减，在

22

2

( ,+￥)单调递增，且

22

2

23h(2)=2- -10,h(3)=3- -10，所以x3?

2

3

方法二数形结合

(2,3)，综上x1x2x3.

x函数f(x)=2x+x,g